Numero di Woodall

In matematica si chiamano numeri di Woodall e si indicano con ${\displaystyle W_{n}}$ i numeri naturali di forma

${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1}$

La sequenza

Furono studiati per la prima volta da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall, due matematici inglesi, nel 1917, grazie alle osservazioni di James Cullen sui numeri di Cullen, similmente definiti. I primi numeri di Woodall sono:

${\displaystyle W_{1}=1}$

${\displaystyle W_{2}=7}$

${\displaystyle W_{3}=23}$

${\displaystyle W_{4}=63}$

${\displaystyle W_{5}=159}$

${\displaystyle W_{6}=383}$

${\displaystyle W_{7}=895}$

(sequenza A003216 dell'OEIS).

I primi di Woodall

I numeri di Woodall che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Woodall. I primi valori di ${\displaystyle n}$ che rendono primi i numeri di Woodall sono ${\displaystyle 2,3,6,30,75,81,115,123,249,362,384}$ (sequenza A002234 dell'OEIS). La sequenza dei numeri primi di Woodall è invece

${\displaystyle W_{p1}=7}$

${\displaystyle W_{p2}=23}$

${\displaystyle W_{p3}=383}$

${\displaystyle W_{p4}=32212254719\approx 3.221\cdot 10^{10}}$

${\displaystyle W_{p5}=2833419889721787128217599\approx 2.833\cdot 10^{24}}$

(sequenza A050918 dell'OEIS).

Proprietà

I numeri di Woodall hanno diverse proprietà di divisibilità. Ad esempio, se ${\displaystyle p}$ è un numero primo, allora divide

${\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}}$

se il simbolo di Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}}\right)}$ è ${\displaystyle +1}$

e divide

${\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}}$

se il simbolo di Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {p}{2}}\right)}$ è ${\displaystyle -1}$

Esiste anche una congettura che sostiene vi siano infiniti numeri primi di Woodall. A gennaio 2019 il più grande conosciuto è generato da ${\displaystyle n=17016602}$ ed è un numero di 5122515 cifre scoperto da Diego Bertolotti nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

Numero di Woodall generalizzato

Un numero di forma

${\displaystyle W_{n}=n\cdot b^{n}-1}$

è chiamato numero di Woodall generalizzato.

Voci correlate

• Numero di Cullen
• Numeri primi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero di Woodall, su MathWorld, Wolfram Research.