Moto elicoidale uniforme

Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare ${\displaystyle (\cos t,\sin t,t)}$ da ${\displaystyle t=0}$ con le frecce che indicano la direzione in cui cresce ${\displaystyle t}$

Si chiama moto elicoidale il moto di un punto materiale che descrive con velocità angolare costante un'elica circolare, cioè un'elica appartenente ad un cilindro circolare retto, come rappresentato in figura.

È un moto tridimensionale di un punto, che si compone di un moto piano circolare uniforme in un piano e di un moto rettilineo uniforme nella direzione perpendicolare al piano detto.

In coordinate cartesiane dato il passo dell'elica ${\displaystyle P_{0}}$, il raggio ${\displaystyle r}$ del cilindro attorno a cui sale l'elica e l'angolo ${\displaystyle \theta }$ che indica "l'avvolgersi" dell'elica attorno al suo asse, l'equazioni parametriche che individuano l'elica sono:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \theta \\[4pt]&y=r\sin \theta \\[4pt]&z={\frac {P_{0}\theta }{2\pi }}\\[4pt]\end{aligned}}\right.}$

Chiamiamo ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}}$ il versore tangente alla traiettoria dell'elica, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {N} }}}$ il versore normale alla traiettoria ed assegniamo il "verso" di percorrenza dell'elica come positivo per valori di ${\displaystyle \theta }$ crescenti. Per avere la velocità del moto è necessario derivare rispetto al tempo l'equazione parametrica vettoriale dell'elica:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {y} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {z} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega \sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+r\omega \cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}+{\frac {P_{0}\omega }{2\pi }}{\hat {\mathbf {k} }}}$

che è anche pari a:

${\displaystyle \mathbf {v} =\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}=\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right)\omega {\hat {\mathbf {T} }}}$.

Similmente derivando la velocità scalare potremo trovare l'accelerazione:

${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}{\hat {\mathbf {T} }}+r\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\hat {\mathbf {N} }}=\left({\sqrt {r^{2}+{\frac {P_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}}}\right)\alpha {\hat {\mathbf {T} }}+r\omega ^{2}{\hat {\mathbf {N} }}}$.

Poiché ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ è costante nel moto uniforme, allora ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=0}$.

Si può dunque scrivere:

${\displaystyle \mathbf {a} =r\omega ^{2}{\hat {\mathbf {N} }}}$

Note

Bibliografia

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica 1, Napoli, EdiSES, 2003.

Voci correlate

• Accelerazione
• Cinematica
• Dinamica (fisica)
• Sistema di riferimento
• Velocità

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Collegamenti esterni

• The Physics Classroom, su physicsclassroom.com.
• Nicola Santoro, La cinematica in breve (PDF), su maecla.it.
• Moto elicoidale uniforme, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.