Modello di Klein

Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami[1] per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley[2] ed approfondita successivamente da Felix Klein[3].

Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla ${\displaystyle n}$-dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è infatti un modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.

Definizione

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla ${\displaystyle n}$-dimensionale

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}}$

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione ${\displaystyle n}$ è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione ${\displaystyle n=2}$: in questo caso lo spazio è veramente un disco (senza il bordo), centrato nell'origine e di raggio unitario.

Distanza

La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ due punti del disco. Siano ${\displaystyle u'}$ e ${\displaystyle v'}$ i punti di intersezione della retta ${\displaystyle r}$ passante per ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ con il bordo del disco

${\displaystyle \partial B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.}$

I punti ${\displaystyle u',u,v,v'}$ giacciono con questo ordine sulla retta ${\displaystyle r}$. La distanza fra ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ è

${\displaystyle d(u,v)={\frac {1}{2}}\ln {\big (}\operatorname {b} (v',u',u,v){\big )}}$

ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.

Note

1. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, in Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, pp. 232–255, DOI:10.1007/BF02419615.
2. Arthur Cayley, A Sixth Memoire upon Quantics, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, pp. 61–91, DOI:10.1098/rstl.1859.0004.
3. Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, in Mathematische Annalen, vol. 4, 1871, pp. 573–625, DOI:10.1007/BF02100583.

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Collegamenti esterni

• Beltrami, modello di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Klein-Beltrami model, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Klein-Beltrami Model, su MathWorld, Wolfram Research.

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