Metodo di Laguerre

Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.

La formula per l'iterazione è:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {nP(x_{k})}{P'(x_{k})\pm {\sqrt {(n-1)[(n-1)(P'(x_{k}))^{2}-nP(x_{k})P''(x_{k})}}]}}}$,

dove ${\displaystyle x_{0}}$ è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa, ${\displaystyle P(x)}$ è il polinomio, ${\displaystyle P'(x)}$ è la sua derivata prima, ${\displaystyle P''(x)}$ è la sua derivata seconda, ${\displaystyle n}$ è il grado del polinomio ${\displaystyle P(x)}$. Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di ${\displaystyle P'(x_{k})}$ quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.

Cambiando il valore iniziale di ${\displaystyle x_{0}}$ è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.

Esempio:
Sia ${\displaystyle P(x)=4x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-4x+1}$
quindi ${\displaystyle P'(x)=16x^{3}+9x^{2}-10x-4}$
e ${\displaystyle P''(x)=48x^{2}+18x-10}$
Per ${\displaystyle x_{0}=0}$
${\displaystyle x_{1}=0,1975496259559987...}$
${\displaystyle x_{2}=0,2055025290836081...}$
${\displaystyle x_{3}=0,2055031204717088...}$
${\displaystyle x_{4}=0,2055031204717088...}$
per ${\displaystyle x_{0}=1}$
${\displaystyle x_{1}=1,0755226110163770...}$
${\displaystyle x_{2}=1,0756019089596258...}$
${\displaystyle x_{3}=1,0756019089597004...}$
${\displaystyle x_{4}=1,0756019089597004...}$

La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.

Bibliografia

• Forman S. Acton - Numerical Methods that Work" Harper & Row., 1970 ISBN 0883854503.
• Edmond Nicolas Laguerre Oeuvres Complètes t. 1 (New York : Chelsea publ., 1972) ISBN 0828402639
• A. Ralston, P. Rabinowitz A first course in numerical analysis (New York: Dover, 2001) p. 371 ISBN 048641454X