Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

I metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie permettono di risolvere in maniera esatta alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

Equazioni del primo ordine

Non esiste un'unica formula risolutiva valida per tutti i tipi di equazioni differenziali del primo ordine. Tra i casi più ricorrenti vi sono:

• Equazioni differenziali lineari nella forma ${\displaystyle y'=a(x)y+b(x)}$
• Equazioni differenziali a variabili separabili nella forma ${\displaystyle y'=a(x)b(y)}$
• Equazioni differenziali esatte
• Equazione differenziale di Bernoulli
• Equazione di Clairault
• Equazione di Lagrange
• Equazione di Riccati
• Equazione differenziale di Abel

Le equazioni differenziali del primo ordine sono particolarmente importanti, in quanto è possibile ridurre un'equazione di grado n, superiore al primo, ad un sistema di equazioni del primo ordine, di cui almeno n-1 lineari. Ad esempio, sia data l'equazione di terzo grado:

${\displaystyle {u'''}^{2}+u''=x}$

Essa è equivalente al sistema:

${\displaystyle z_{1}=u'\qquad z_{2}=z_{1}'\qquad {z_{2}'}^{2}+z_{2}=x}$

Una volta trovate le soluzioni, tramite semplice integrazione si ottiene ${\displaystyle u}$.

Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica:

${\displaystyle y'=f(x,y)}$

dove ${\displaystyle f}$ è lineare in ${\displaystyle y}$. Pertanto l'equazione assume la forma:

${\displaystyle y'=a(x)y+b(x)}$

Soluzioni particolari di queste equazioni vennero trovate da Isaac Newton, Leibniz e molti altri esponenti della genesi del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. La soluzione generale è:

${\displaystyle y=e^{-\int a(x)dx}\left(\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+costante\right)}$

Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono tutte le equazioni differenziali espresse nella forma:

${\displaystyle y'=a(x)b(y)}$

dove le funzioni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono definite e continue su intervalli. Si verifica immediatamente che, se ${\displaystyle b({\bar {y}})=0}$, allora la funzione costante ${\displaystyle y(x)={\bar {y}}}$ è soluzione dell'equazione.

Se la funzione ${\displaystyle b}$ è derivabile con continuità, segue dal teorema di esistenza di Picard che una soluzione ${\displaystyle \phi }$, tale che ${\displaystyle b(\phi ({\bar {x}}))}$ sia diverso da 0 per un qualche ${\displaystyle {\bar {x}}}$, non annullerà mai ${\displaystyle b(\phi (x))}$. È allora lecito dividere per ${\displaystyle b(\phi (x))}$, ottenendo:

${\displaystyle {\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}=a(x)}$

Integrando, si ha:

${\displaystyle \int {\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}{dx}=\int a(x)dx}$

Si può utilizzare il teorema di integrazione per sostituzione (${\displaystyle s=\phi (x)}$), ottenendo:

${\displaystyle \left(\int {\frac {1}{b(s)}}{ds}\right)_{s=\phi (x)}=\int a(x)dx}$

La soluzione ${\displaystyle \phi }$ soddisfa quindi, per una opportuna costante reale ${\displaystyle c}$, la condizione:

${\displaystyle B(\phi (x))=A(x)+c}$

dove ${\displaystyle B}$ è una primitiva di ${\displaystyle 1/b}$ e ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle a}$, primitive che certamente esistono per la continuità di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. La formula precedente descrive una soluzione in forma implicita. Può essere difficile riuscire a trovare una formula che descriva la funzione inversa di ${\displaystyle B}$ e quindi avere le soluzioni dell'equazione differenziale in forma "esplicita".

Equazioni differenziali esatte

Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come:

${\displaystyle p(x,y)+q(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$

dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di ${\displaystyle p}$ rispetto ad ${\displaystyle y}$ e di ${\displaystyle q}$ rispetto a ${\displaystyle x}$: se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli:

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}}$

La soluzione generale è:

${\displaystyle P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C}$

oppure:

${\displaystyle Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C}$

Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore di integrazione ${\displaystyle \mu }$ per cui si abbia:

${\displaystyle {\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}}$

Equazioni differenziali non lineari

Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo:

${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$

Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendente da ${\displaystyle x}$ e n parametri costanti ${\displaystyle c}$ del tipo:

${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})}$

detta anche integrale generale della funzione ${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$

Se l'equazione è non lineare, invece, non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo:

${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})}$

che fornisca tutti gli integrali della funzione:

${\displaystyle F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0}$

e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione:

${\displaystyle F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0}$

per la cui soluzione:

${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})}$

detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di:

${\displaystyle F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0}$

e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

Equazioni a variabili separabili del primo ordine

Data l'equazione:

${\displaystyle y^{'}{(x)}=a{(x)}\cdot b{(y{(x)})}}$

dove ${\displaystyle a(x)}$ e ${\displaystyle b(x)}$ sono funzioni continue rispettivamente nei propri intervalli di definizione, essa è non lineare se ${\displaystyle b}$ non è un polinomio di primo grado. Riconducendosi ad un problema di Cauchy imponendo una condizione iniziale ${\displaystyle y{(x_{0})}=y_{0}}$ è possibile risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili con la procedura enunciata precedentemente.

Bibliografia

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• (EN) A. Cohen An introduction to the Lie theory of one-parameter groups; with applications to the solution of differential equations (Boston, D.C. Health & co., 1911) (teoria dei Gruppi di Lie e applicazioni alla soluzione analitica dell'equazioni differenziali ordinarie)
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• (EN) G. M. Murphy Ordinary Differential Equations and their solutions (Van Nostrand, NY, 1960)

Voci correlate

• Equazione differenziale esatta
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo
• Equazione differenziale ordinaria
• Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie
• Metodo di riduzione dell'ordine
• Separazione delle variabili

Collegamenti esterni

• Equazioni differenziali a variabili separabili, con critiche a metodi diffusi di "soluzione" File pdf, 25 pag. Link visitato il 17 marzo 2012