Nell'ambito della meccanica lagrangiana la rappresentazione di un sistema è data dallo spazio delle configurazioni, generato dall'insieme delle coordinate generalizzate, e dallo spazio delle coppie , dove con si indicano rispettive velocità, che prende il nome di spazio degli stati. Quest'ultimo rappresenta l'insieme delle posizioni che il sistema può assumere compatibilmente con i vincoli imposti, mentre lo spazio delle configurazioni può essere una varietà differenziabile, detta varietà delle configurazioni.
In questo approccio la traiettoria del sistema non viene studiata a partire dalle forze agenti su di esso, come avviene nell'ambito tradizionale della dinamica newtoniana, ma è la soluzione di un problema variazionale in cui tra tutti i moti possibili il sistema percorre il cammino che minimizza (ne annulla la variazione) una funzione scalare detta azione, in accordo con il principio di minima azione.
La Lagrangiana è definita come la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema studiato, ma può anche avere una forma più generale, e si possono avere più Lagrangiane per la stessa equazione del moto.
dove ogni coordinata dipende dal tempo. Un'espressione per lo spostamento virtuale del sistema, per vincoli indipendenti dal tempo o dalla velocità, ha la seguente forma:
La velocità e l'accelerazione di ogni particella sono date dalla regola della catena:[6]
Calcolando la derivata parziale delle velocità e delle accelerazioni , nell'ordine, rispetto a e si ottiene:
Considerando il moto come determinato dall'applicazione di forze applicate e forze inerziali , il principio di D'Alembert stabilisce che il loro lavoro virtuale relativamente allo spostamento virtuale è dato da:[7]
dove sono le accelerazioni delle particelle. Poiché lo spostamento e il lavoro virtuale rappresentano casi particolari delle rispettive grandezze infinitesime, è possibile usarli come operatori differenziali. L'espressione ottenuta per il lavoro virtuale suggerisce che le forze applicate, attraverso un opportuno cambio di coordinate, possono essere espresse come forze generalizzate , che vengono definite come:
Ovvero, le forze generalizzate possono essere ridotte al gradiente di un potenziale scritto mediante le coordinate generalizzate. Il precedente risultato può essere anche ricavato notando che è una funzione di , che dipendono a loro volta da , e applicando la regola della catena alla derivata di rispetto a .
I moti di un sistema vincolato si rappresentano considerando punti materiali in , che costituiscono un sistema soggetto a vincoli olonomi , eventualmente dipendenti dal tempo , che agiscono su di esso:
Per ogni fissato istante di tempo queste relazioni definiscono una superficie (una varietà differenziabile) immersa nello spazio euclideo 3N-dimensionale. In particolare, un sistema è soggetto a vincoli perfetti se le reazioni vincolari sono in quell'istante ortogonali allo spazio tangente alla superficie .
In termini di coordinate generalizzate sulla superficie , che ha dimensione , la condizione che il sistema sia soggetto a vincoli perfetti si traduce in:
dove è il vettore che rappresenta tutte le reazioni vincolari cui ogni punto del sistema è soggetto.
La descrizione dei sistemi meccanici sviluppata dalla meccanica lagrangiana si basa sull'introduzione di una funzione, detta Lagrangiana, data dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale:
Nel descrivere sistemi in cui l'energia si conserva la Lagrangiana dipende soltanto dalle coordinate e dalle loro derivate , in quanto il potenziale non dipende dal tempo, così come l'energia cinetica.
Equazioni di Lagrange del primo tipo
Le equazioni di Lagrange del primo tipo per un sistema di particelle con vincoli olonomi, dati dalle funzioni , sono:
che forniscono una formulazione del secondo principio della dinamica. Infatti, scrivendo la lagrangiana come differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale:
si nota che:
si ha:
ovvero l'equazione di Newton.
La proprietà principale delle equazioni di Lagrange è che, a differenza delle equazioni di Newton, esse non cambiano forma quando si passa dalle coordinate cartesiane ad un altro sistema di coordinate. Questo permette di scrivere agevolmente le equazioni in coordinate diverse da quelle cartesiane ottenendo spesso una loro semplificazione (come avviene ad esempio per i problemi con forze centrali scritti in coordinate polari), inoltre permette di generalizzare la teoria dai sistemi definiti su spazi vettoriali ai sistemi definiti su varietà differenziabili, come ad esempio i sistemi con vincoli olonomi.
Ricordando che per poter definire le equazioni di Eulero-Lagrange è necessario che le traiettorie ; se la Lagrangiana non dipende da una certa coordinata , detta coordinata ciclica, si ha dalle suddette equazioni che:
e quindi è una costante del moto: si tratta di un caso particolare del più generale teorema di Noether.
Le equazioni di Eulero-Lagrange equivalgono del resto alle equazioni per i momenti coniugati:
La formulazione delle equazioni del moto a partire dai momenti coniugati è sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, in cui l'energia totale del sistema è solitamente associata alla funzione Hamiltoniana, definita come la trasformata di Legendre della Lagrangiana:
Attraverso il principio di Hamilton, è possibile estendere la validità della suddetta teoria, poiché per poter calcolare l'Hamiltoniana, è sufficiente che le traiettorie siano di classe a tratti. Se inoltre è soddisfatta la condizione di non degenerazione:
ovvero se la matrice in questione è invertibile, allora è invertibile la definizione delle coordinate canoniche fornita da , in modo da avere le in funzione di .
Note
^ H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2001, p. 35.
^ Bruce Torby, Energy Methods, in Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America, CBS College Publishing, 1984, ISBN0-03-063366-4.
^L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, collana Schaum, ETAS, 1984, p. 353. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, 1967, ISBN 007-069258-0). Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
(EN) Dimitrios Psaltis - Lagrangian Dynamics (PDF), su ice.as.arizona.edu. URL consultato il 14 settembre 2015 (archiviato dall'url originale il 13 maggio 2015).