Massa di chirp

La massa di chirp del sistema compatto di una stella binaria con massa delle componenti ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ è data da:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$.[1][2]

Nella teoria della relatività generale, la massa di chirp è il parametro di massa che, all'ordine principale, determina l'evoluzione dell'ampiezza e della frequenza del segnale di un'onda gravitazionale emessa dal sistema binario nella fase di spiraleggiamento.[3] All'ordine più basso di una espansione post-newtoniana, l'evoluzione della fase della forma d'onda dipende solamente dalla massa di chirp:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}}$

dove ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle {\dot {f}}}$ sono rispettivamente la velocità della luce nel vuoto, la costante di gravitazione universale, la frequenza dell'onda gravitazionale osservata e la derivata prima di ${\displaystyle f}$ rispetto al tempo.[4][5] Di conseguenza, nell'astronomia delle onde gravitazionali, la massa di chirp può essere accuratamente misurata dai rilevatori a partire dalla frequenza e dalla distorsione gravitazionale di un'onda gravitazionale.[6]

Riscrivendo la soprastante equazione in modo da ottenere l'evoluzione della frequenza delle onde gravitazionali provenienti dalla coalescenza di una stella binaria si ottiene:[7]

${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$

Integrando tale equazione rispetto al tempo si ha quindi:[7]

${\displaystyle {\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}t+{\frac {3}{8}}f^{-8/3}+C=0}$

dove C è la costante di integrazione. Inoltre, ponendo ${\displaystyle x\equiv t}$ e ${\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}}$, la massa di chirp può essere calcolata dall'inclinazione della retta ottenuta dalla rappresentazione su un piano cartesiano dei punti di coordinate (x, y).

Note

1. L. Blanchet, T. Damour, B. R. Iyer, C. M. Will e A. G. Wiseman, Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian order, in Phys. Rev. Lett., vol. 74, n. 3515, 1995, pp. 3515-3518, Bibcode:1995PhRvL..74.3515B, DOI:10.1103/PhysRevLett.74.3515, arXiv:gr-qc/9501027.
2. L. Blanchet, B. R. Iyer, C. M. Will e A. G. Wiseman, Gravitational waveforms from inspiralling compact binaries to second-post-Newtonian order, in Classical and Quantum Gravity, vol. 13, n. 575, 1996, pp. 575-584, Bibcode:1996CQGra..13..575B, DOI:10.1088/0264-9381/13/4/002, arXiv:gr-qc/9602024.
3. Guglielmo Volpato, Uno studio sulle popolazioni di gamma-ray burst ed i loro progenitori (PDF), su tesi.cab.unipd.it, Università degli Studi di Padova, 2017. URL consultato il 27 marzo 2018.
4. B. P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, in Physical Review Letters, vol. 116, n. 6, 2016, p. 061102, Bibcode:2016PhRvL.116f1102A, DOI:10.1103/PhysRevLett.116.061102, PMID 26918975, arXiv:1602.03837.
5. Curt Cutler e Éanna E. Flanagan, Gravitational waves from merging compact binaries: How accurately can one extract the binarys parameters from the inspiral waveform?, in Physical Review D, vol. 49, n. 6, 1994, pp. 2658-2697, Bibcode:1994PhRvD..49.2658C, DOI:10.1103/PhysRevD.49.2658, arXiv:gr-qc/9402014.
6. Jim Wheeler, Lecture Notes: Gravitational waves (PDF), Dipartimento di Fisica - Università statale dello Utah, 2013. URL consultato il 27 marzo 2018.
7. V. Tiwari, S. Klimenko, V. Necula e G. Mitselmakher, Reconstruction of chirp mass in searches for gravitational wave transients, in Classical and Quantum Gravity, vol. 33, n. 1, 2016, Bibcode:2016CQGra..33aLT01T, DOI:10.1088/0264-9381/33/1/01LT01.