Indipendenza affine

In geometria, l'indipendenza affine è una relazione fra punti di uno spazio affine simile all'indipendenza lineare.

Definizione

Siano ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k}}$ dei punti in uno spazio affine di dimensione ${\displaystyle n}$. Questi sono affinemente indipendenti se il più piccolo sottospazio affine che li contiene ha dimensione ${\displaystyle k}$.

Esempi

Due punti sono affinemente indipendenti se e solo se sono distinti.

Tre punti sono affinemente indipendenti se e solo se non sono contenuti in una retta affine, cioè se non sono collineari.

Quattro punti (ad esempio nello spazio tridimensionale) sono affinemente indipendenti se e solo se non sono contenuti in un piano affine.

Simplesso

Punti affinemente indipendenti ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k}}$ in uno spazio affine reale sono i vertici di un simplesso, definito in modo equivalente come:

• l'inviluppo convesso dei punti ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k}}$;
• l'insieme dei punti aventi coordinate affini ${\displaystyle x_{0}P_{0}+\ldots x_{k}P_{k}}$ con ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$.

Proprietà

Sottoinsiemi

Qualsiasi sottoinsieme di un insieme di punti affinemente indipendenti è anch'esso un insieme di punti affinemente indipendenti. Ad esempio, se quattro punti non stanno in un piano affine, tre qualsiasi di questi non sono collineari.

Relazione con l'indipendenza lineare

I punti ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k}}$ di uno spazio affine sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori

${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{k}}}}$

sono linearmente indipendenti. Questi vettori generano la giacitura del sottospazio affine generato dai punti. Tutto ciò rimane invariato se si permutano i vettori ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k}}$.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989, ISBN 978-88-339-5447-9

Voci correlate

• Indipendenza lineare
• Indipendenza algebrica
• Coordinate baricentriche