Polinomio di terzo grado In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
,
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}
dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado . La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica , mentre l'integrale indefinito di una funzione cubica è una funzione di quarto grado.
Derivata e punti critici
La derivata della funzione cubica,
f
′
(
x
)
=
3
a
x
2
+
2
b
x
+
c
{\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c}
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
x
=
−
b
±
b
2
−
3
a
c
3
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac\ }}}{3a}}}
Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica , può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che
se
b
2
−
3
a
c
>
0
{\displaystyle b^{2}-3ac>0\,}
massimo locale e un minimo locale ; se
b
2
−
3
a
c
<
0
{\displaystyle b^{2}-3ac<0}
se
b
2
−
3
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-3ac=0}
punto di flesso in
−
b
/
3
a
{\displaystyle -b/3a}
Cubiche bipartite
La curva di equazione
y
2
=
x
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
{\displaystyle y^{2}=x(x-a)(x-b)}
0
<
a
<
b
{\displaystyle 0<a<b}
viene chiamata cubica bipartita . Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche .
Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione
g
(
x
)
=
x
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
{\displaystyle g(x)={\sqrt {x(x-a)(x-b)}}}
corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale
(
0
,
a
)
∪
(
b
,
+
∞
)
.
{\displaystyle (0,a)\cup (b,+\infty ).}
La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica .
Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}
Valutiamo
q
=
3
a
c
−
b
2
9
a
2
{\displaystyle q={\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}}
r
=
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
54
a
3
{\displaystyle r={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}}
e successivamente
s
=
r
2
+
q
3
27
+
r
2
4
3
{\displaystyle s={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}
t
=
r
2
−
q
3
27
+
r
2
4
3
{\displaystyle t={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}
Le soluzioni sono date da
x
1
=
s
+
t
−
b
3
{\displaystyle x_{1}=s+t-{\frac {b}{3}}}
x
2
=
−
1
2
(
s
+
t
)
−
b
3
+
3
2
(
s
−
t
)
i
{\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}
x
3
=
−
1
2
(
s
+
t
)
−
b
3
−
3
2
(
s
−
t
)
i
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni
![{\displaystyle s={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faa27524844601c86f43611b6102c02a17e4731)
![{\displaystyle t={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58c96e9db076ee6ae513bdc09f13fe341e7e317)
