Formule di Borda

Le formule o relazioni di Borda, indicate anche come formule di Nepero-Borda,[1] permettono di risolvere il triangolo di posizione nelle applicazioni di astronomia nautica (navigazione astronomica).[2]

Descrizione

Il triangolo di posizione

Facendo riferimento al triangolo di posizione, sono date le formule per ricavare l'angolo al polo P e l'angolo zenitale Z.

Formule per calcolare l'angolo al polo P

${\displaystyle \sin {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\cos(S-p)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos(S-p)\sin(S-\phi )}}}}$

dove si è posto

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

avendo indicato con ${\displaystyle \phi }$ la latitudine, con ${\displaystyle p=90^{\circ }-\delta }$ dove ${\displaystyle \delta }$ è la declinazione, e ${\displaystyle h}$ l'altezza (misurata col sestante) dell'astro preso come riferimento.

Formule per calcolare l'angolo azimutale Z

${\displaystyle \sin {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\cos(S-p)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos S\cos(S-p)}}}}$

dove si è posto

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

e analogo significato degli altri simboli.

Le formule per calcolare l'angolo parallattico A non sono date perché il calcolo non ha interesse pratico.

Le formule sono tutte riportate in forma logaritmica, forma in cui le funzioni trigonometriche compaiono sempre e solo moltiplicate fra loro; ciò semplifica i calcoli perché permette di passare ai logaritmi di tali funzioni e sommare i risultati ottenuti (ricordando infatti che a*b = log(a)+log(b)). Questo modo è il più semplice quando si devono eseguire tutti i calcoli a mano, utilizzando soltanto le tavole dei logaritmi e le tavole delle funzioni trigonometriche.

Note

1. Formule di Borda su treccani.it.
2. F. Flora, pp. 56-59, 1987.

Bibliografia

• Ferdinando Flora, Astronomia Nautica, Hoepli editore, 1987, ISBN 9788820300500.

Collegamenti esterni

• Borda, formule di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.