Formula di inversione di Möbius

In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la formula di inversione di Möbius lega due funzioni aritmetiche, l'una delle quali è somma dei divisori dell'altra, attraverso la funzione di Möbius. Fu introdotta da August Ferdinand Möbius nel XIX secolo.

Afferma che date due funzioni aritmetiche f e g, l'uguaglianza

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}g\left(d\right)}$

vale se e solo se si ha

${\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f\left({\frac {n}{d}}\right)}$

dove la somma è estesa a tutti i divisori di n e ${\displaystyle \mu }$ è la funzione di Möbius.

La formula di inversione di Möbius può essere generalizzata a funzioni di variabile complessa.

Convoluzione e formula di inversione

La formula può essere riscritta attraverso l'operazione di convoluzione di Dirichlet *: se g e f sono funzioni aritmetiche allora:

${\displaystyle f=g*N_{0}}$

se e solo se:

${\displaystyle g=f*\mu }$

dove ${\displaystyle N_{0}(n)=1}$ per ogni n.

Questo punto di vista offre una semplice via per arrivare alla dimostrazione: basta infatti dimostrare che ${\displaystyle \mu }$ e N₀ sono l'una l'inversa dell'altra secondo l'operazione di convoluzione, cioè che

${\displaystyle \left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\left\{{\begin{matrix}1\ {\mbox{se}}\ n\ {\mbox{=}}\ 1\\0\ {\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$

La prima uguaglianza è semplicemente la definizione di convoluzione; la seconda si ricava facilmente dal fatto che alla sommatoria contribuiscono solo i divisori di n privi di quadrati: se n ha m fattori primi distinti il contributo alla sommatoria da parte dei divisori di n privi di quadrati con j fattori primi distinti è ${\displaystyle {m \choose j}\left(-1\right)^{j}}$, e quindi:

${\displaystyle \left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\left(-1\right)^{j}=\left(1-1\right)^{m}=0~~~~\forall ~n>1}$

A questo punto è sufficiente osservare che se ${\displaystyle f=g*N_{0}}$, allora usando la convoluzione per la funzione di Mobius ad entrambi i membri si ha

${\displaystyle f*\mu =g*N_{0}*\mu =g*(N_{0}*\mu )=g}$

che è la tesi. Nell'ultimo passaggio si sfrutta il fatto che la funzione che vale 1 per n=1 e 0 per n>1, convoluta con ogni funzione f, dà la stessa f.

Seconda formula di inversione di Mobius

Sia h una funzione aritmetica moltiplicativa; allora:

${\displaystyle f\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h\left(n\right)g\left({\frac {x}{n}}\right)}$

se e solo se:

${\displaystyle g\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h^{-1}\left(n\right)f\left({\frac {x}{n}}\right)}$

dove ${\displaystyle h^{-1}\left(n\right)}$ è l'inversa convolutiva di ${\displaystyle h\left(n\right)}$.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Capitolo 2.7)

Collegamenti esterni

• (EN) Möbius inversion theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Formula di inversione di Möbius, su MathWorld, Wolfram Research.