Evoluta

In blu l'evoluta di un'ellisse (rosso).

Evoluta (rosso) di una parabola (blu).

In geometria differenziale delle curve, l'evoluta di una curva piana ${\displaystyle \gamma }$ è un'altra curva piana ${\displaystyle E}$ che si ottiene come luogo geometrico dei centri di curvatura di ${\displaystyle \gamma }$ (ovvero i centri dei cerchi osculatori, che meglio approssimano la curva nei punti). Per esempio, l'evoluta di un cerchio è il suo centro stesso. In questo modo ${\displaystyle \gamma }$ viene detta involuta o evolvente di ${\displaystyle E}$.

Definizione

Sia la curva piana ${\displaystyle \gamma (s)}$ parametrizzata dal parametro lunghezza d'arco. Il raggio di curvatura (raggio del cerchio osculatore) è definito come:

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{k(s)}}}$.

Il centro di curvatura si trova sulla linea normale a ${\displaystyle \gamma (s)}$ ed è posto ad una distanza di ${\displaystyle R}$ da ${\displaystyle \gamma (s)}$, nella direzione determinata dal segno di ${\displaystyle k}$, ovvero:

${\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s){\bf {N}}(s)=\gamma (s)+{\frac {1}{k(s)}}{\bf {N}}(s)}$.

Al variare di ${\displaystyle s}$, quindi, tale centro definisce una curva piana detta evoluta di ${\displaystyle \gamma }$.

Voci correlate

• Involuta

Collegamenti esterni

• (FR) Pagina del sito mathcurve.com
• Sito con volumi manoscritti inediti dell'Ing. Corrado Brogi (Firenze 1920-1999), su spazioinwind.libero.it.