Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma

In matematica, la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv, stabilisce che se:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$

allora:

${\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

In modo simile, se:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}$

allora:

${\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

o meglio:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}$

Dimostrazione

La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Si supponga di avere:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$

per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}$

sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n})}$

e dividendo per ${\displaystyle n^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}$

Disuguaglianza sulle funzioni

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni reali ed integrabili in ${\displaystyle [0,1]}$, entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:

${\displaystyle \int fg\geq \int f\int g}$

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.

Bibliografia

• (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
• (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya, Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9, MR 0944909.
• (EN) Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

Voci correlate

• Disuguaglianza di riarrangiamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, su MathWorld, Wolfram Research.