In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa ) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato .
Definizione
Le funzioni di densità di alcune distribuzioni normali inverse. Una distribuzione normale inversa con parametri
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
funzione di densità di probabilità
f
(
x
)
=
(
λ
2
π
x
3
)
1
2
e
−
λ
(
x
−
μ
)
2
2
μ
2
x
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}}
per x > 0.
Caratteristiche
Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è
E
(
X
)
=
μ
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }
La varianza è
Var
(
X
)
=
μ
3
λ
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}
per cui la deviazione standard
σ
=
μ
3
λ
{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}
e il coefficiente di variazione è
VarK
(
X
)
=
μ
λ
{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}
Il coefficiente di asimmetria viene indicato con
v
(
X
)
=
3
μ
λ
{\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}
La funzione caratteristica è data da
ϕ
X
(
s
)
=
e
λ
μ
(
1
−
1
−
2
μ
2
i
s
λ
)
{\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}
mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è
m
X
(
s
)
=
e
λ
μ
(
1
−
1
−
2
μ
2
s
λ
)
{\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}
Teorema
Somma di v.c. normali inverse identiche
Siano
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}
n
λ
{\displaystyle n\lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
Voci correlate
Collegamenti esterni
