Distanza di cerchio massimo

Per distanza di cerchio massimo si intende la distanza minima fra due punti posti su una superficie sferica, e coincide con l'arco di cerchio massimo che comprende i due punti. Questa distanza è anche detta ortodromia ed è la traiettoria percorsa dagli aeromobili, poiché implica un minor consumo di carburante e di tempo rispetto alla lossodromia.

Essa rappresenta il tragitto più breve ed ha la caratteristica di tagliare tutti i meridiani con angoli diversi, lungo un cerchio massimo.

Casi particolari sono gli archi di meridiano (angolo di taglio costante = 0°/180°) ed archi di parallelo (angolo di taglio costante = 90°/270°).

L'angolo che sottende questa distanza viene detto distanza angolare.

Esempio di un'ortodromia

È da notare che archi del parallelo equatoriale rappresentano casi particolari dell'ortodromia in quanto, anche non variando l'angolo di intersezione con i meridiani, la distanza tra i punti considerati (partenza ed arrivo) è la minima possibile. Poiché nel caso della navigazione (aerea o marittima) è conveniente, in generale (a meno di altre variabili quali correnti marine, venti in quota, ecc.), percorrere il tragitto più breve per collegare due punti, la rotta ortodromica è quella preferenziale. Una rotta di questo tipo è però soltanto ideale, in quanto non è pensabile che il mezzo in questione possa variare in modo continuo la direzione di navigazione (intesa come orientamento rispetto ai punti cardinali). La rotta reale è molto spesso una buona approssimazione della rotta ortodromica, realizzata tramite successive rotte lossodromiche parziali (spezzata).

Calcolo per via geometrica

Siano ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ due punti su una superficie sferica di raggio ${\displaystyle \rho }$ in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Definite ${\displaystyle \phi _{P}}$ e ${\displaystyle \phi _{Q}}$ le longitudini dei due punti prese dall'asse ${\displaystyle x}$ verso la proiezione dei raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ sul piano ${\displaystyle xy}$, e ${\displaystyle \theta _{P}}$ e${\displaystyle \theta _{Q}}$ le latitudini dei due punti prese dal piano ${\displaystyle xy}$ verso i raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$, le coordinate cartesiane dei due punti sono:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \cos \phi \\y=\rho \cos \theta \sin \phi \\z=\rho \sin \theta \end{cases}}}$

La distanza rettilinea (ovvero misurata lungo la retta che attraversa i due punti P e Q) fra i due punti è

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{P}-y_{Q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=}$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q})^{2}+(\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q})^{2}+(\rho \sin \theta _{P}-\rho \sin \theta _{Q})^{2}}$

sviluppando i calcoli: ${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}$, dove ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{Q}-\phi _{P}}$

Considerando il triangolo ${\displaystyle POQ}$, per trovare la lunghezza dell'arco di cerchio massimo che va da ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle Q}$ bisogna trovare l'ampiezza dell'angolo ${\displaystyle \gamma }$ compreso fra i due raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ e moltiplicarla poi per il raggio ${\displaystyle \rho }$. Denominato quest'angolo ${\displaystyle \gamma }$ risulta quindi che ${\displaystyle d(P,Q)=\rho \gamma }$. Applicando la Legge del coseno, o Teorema di Carnot, al triangolo ${\displaystyle POQ}$:

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2{\overline {OP}}\cdot {\overline {OQ}}\cos \gamma }$

e quindi

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=\rho ^{2}+\rho ^{2}-2\rho \rho \cos \gamma =2\rho ^{2}-2\rho ^{2}\cos \gamma }$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )}$

Si eguagliano i due valori di ${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}}$ che abbiamo trovato:

${\displaystyle 2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )}$

sviluppando i calcoli risulta che

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}})}$

Esprimendolo in modo più esplicito in termini di LATitudine e LONGitudine diventa:

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(LON2-LON1)\cos LAT_{P}\cos LAT_{Q}+\sin LAT_{P}\sin LAT_{Q}}))}$

Se anziché in termini di latitudine e longitudine le coordinate di P e Q sono espresse in termini di declinazione e ascensione retta, la formula diventa:

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(RA2-RA1)\cos Dec_{P}\cos Dec_{Q}+\sin Dec_{P}\sin Dec_{Q}}))}$

Questa quantità è detta distanza angolare tra due punti sulla superficie di una sfera. Moltiplicando, come detto inizialmente, questo angolo per il raggio della sfera, si ottiene la lunghezza dell'arco passante per i due punti P e Q:

${\displaystyle \ d(P,Q)=\rho \arccos {(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}}$

Calcolo per via vettoriale

La distanza fra due punti su una sfera può essere calcolata anche tramite i vettori: consideriamo infatti i due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ come vettori espressi dalle matrici

${\displaystyle {\vec {P}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\text{ e }}{\vec {Q}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}\\\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}\\\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}}$

Eseguendo il prodotto scalare fra ${\displaystyle {\vec {P}}}$ e ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ risulta che ${\displaystyle {\vec {P}}\cdot {\vec {Q}}=\left|P\right|\left|Q\right|\cos \varepsilon }$ (dove ${\displaystyle \varepsilon }$ è sempre l'angolo compreso fra i due vettori):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}&\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}&\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}=\rho ^{2}\cos \gamma }$

Sviluppando i calcoli

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}})}$

E quindi la distanza minima tra i due punti è

${\displaystyle \ d(P,Q)=\rho \arccos {(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}}$

Voci correlate

• Geometria sferica
• Cerchio massimo
• Geodetica
• Arco di circonferenza
• Lossodromia
• Corrente a getto

Altri progetti

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• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ortodromia»

Collegamenti esterni

• Dimostrazione matematica, su mathworld.wolfram.com.
• Sito interattivo, su gc.kls2.com.
• Sito interattivo, su v-flyer.com.
• Sito interattivo, su acscdg.com.
• Sito interattivo in 3D Archiviato il 9 febbraio 2012 in Internet Archive. Tool JavaScript (Google Chrome, Firefox, Safari (browser))