Distanza di Hausdorff

In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

Definizione

Componenti per il calcolo della Distanza di Hausdorff fra la linea verde X e quella blu Y.

Dato uno spazio metrico ${\displaystyle X}$ e due sottoinsiemi ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme ${\displaystyle A}$ la quantità

${\displaystyle d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)}$.

Si definisce eccedenza di A su B la quantità

${\displaystyle e(A,B):=\sup _{x\in A}d(x,B)}$.

Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ la quantità

${\displaystyle d(A,B):={\mbox{max}}\{e(A,B),e(B,A)\}}$

Proprietà

La distanza di Hausdorff è una funzione ${\displaystyle d:P(X)\times P(X)\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$. Essa soddisfa le seguenti proprietà:

• se ${\displaystyle A=B}$ allora ${\displaystyle d(A,B)=0}$
• ${\displaystyle d(A,B)=d(B,A)}$
• ${\displaystyle d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)}$

Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di ${\displaystyle X}$. Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè ${\displaystyle d(A,B)=0}$ implica ${\displaystyle A=B}$) se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono chiusi.

Campi applicativi

La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni ${\displaystyle F:A\to P(B)}$. Se si munisce ${\displaystyle P(B)}$ della distanza di Hausdorff ed ${\displaystyle A}$ è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire ${\displaystyle F}$ continua in ${\displaystyle x_{0}}$ se

per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ in quell'intorno è ${\displaystyle d(F(x),F(x_{0}))<\epsilon }$.

Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.

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