Decomposizione in frazioni parziali sui reali

La decomposizione in frazioni parziali è un metodo per trasformare il rapporto tra due polinomi di ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle P(x)/Q(x)}$, dove ${\displaystyle P(x)}$ ha grado in ${\displaystyle x}$ minore del grado in ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle Q(x)}$, nella somma di più frazioni dette parziali. Per esempio

${\displaystyle {\frac {3x+1}{x^{2}-1}}={\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}}$

oppure

${\displaystyle {\frac {5x^{2}+2x+7}{x^{3}+x^{2}+x+1}}={\frac {5}{x+1}}+{\frac {2}{x^{2}+1}}}$

in generale detti ${\displaystyle q}$ gli zeri di ${\displaystyle Q(x)}$ presi con la loro molteplicità e ${\displaystyle u}$ il grado di ${\displaystyle Q(x)}$ in ${\displaystyle x}$ allora

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {k_{1}}{x-q_{1}}}+{\frac {k_{2}}{x-q_{2}}}+{\frac {k_{3}}{x-q_{3}}}+...+{\frac {k_{u}}{x-q_{u}}}}$

dove i coefficienti ${\displaystyle k}$ sono le soluzioni dell'equazione

${\displaystyle P(x)=\sum _{n=1}^{u}\prod _{j\not =n}k_{n}\left(x-q_{j}\right)\forall x}$

È particolarmente interessante notare che la somma di tutti i coefficienti di ordine 1 deve essere pari a:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x{\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

La decomposizione in frazioni parziali è molto utile per ricavare alcuni integrali indefiniti. Ad esempio per trovare l'integrale indefinito di ${\displaystyle (x-3)/(x^{2}-1)}$ si opera

${\displaystyle \int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=\int _{}{\frac {2}{x+1}}dx-\int _{}{\frac {1}{x-1}}dx}$

e quindi

${\displaystyle \int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=2\ln \left(|x+1|\right)-\ln \left(|x-1\right|)+c}$

Esempi

• ${\displaystyle {\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {A}{x-1}}+{\dfrac {B}{x+1}}}$

Notiamo che, moltiplicando tutto per ${\displaystyle x-1}$, si ottiene:

${\displaystyle {\dfrac {1}{x+1}}=A+{\dfrac {B(x-1)}{x+1}}}$

Dal momento che ${\displaystyle A}$ è una costante, essa avrà lo stesso valore per ogni ${\displaystyle x}$; in particolare, scegliendo ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=A}$

Allo stesso modo, moltiplicando tutto per ${\displaystyle x+1}$:

${\displaystyle {\dfrac {1}{x-1}}={\dfrac {A(x+1)}{x-1}}+B}$

e dunque, scelto ${\displaystyle x=-1}$:

${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}=B}$

Quindi:

${\displaystyle {\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{x-1}}-{\dfrac {1}{x+1}}\right)}$

• ${\displaystyle {\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {A}{x}}+{\dfrac {Bx+C}{x^{2}+1}}}$

Moltiplichiamo tutto per ${\displaystyle x}$ e valutiamo in ${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle 1=A}$

Allo stesso modo, moltiplichiamo tutto per ${\displaystyle {\dfrac {x^{2}+1}{x}}}$ e facciamo il limite per ${\displaystyle x\to +\infty }$:

${\displaystyle B=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x^{2}}}+{\frac {C}{x}}-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)}=-1}$

avendo usato il fatto che ${\displaystyle A=1}$. Infine, moltiplicando tutto per ${\displaystyle x^{2}+1}$ e facendo il limite per ${\displaystyle x\to +\infty }$:

${\displaystyle C=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x}}+{B}{x}-{\frac {1}{x}}\right)}=0}$

avendo usato il fatto che ${\displaystyle A=1,\ B=-1}$. In conclusione:

${\displaystyle {\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {x}{x^{2}+1}}}$