Consistenza (statistica)

In statistica, la consistenza è una proprietà di desiderabilità degli stimatori. In sostanza uno stimatore è consistente se, all'aumentare dell'informazione, ossia della numerosità del campione, la sua distribuzione di probabilità si concentra in corrispondenza del valore del parametro da stimare.

Definizione

Se ${\displaystyle X=\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{n}}$ è un campione, e ${\displaystyle n}$ la sua dimensione.

• Uno stimatore ${\displaystyle T_{n}(X)}$ per un parametro ${\displaystyle \vartheta }$ si dice consistente in senso debole se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge in probabilità al valore del parametro:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left\{|T_{n}(X)-\vartheta |>\varepsilon \right\}=0\quad \forall \ \varepsilon >0.}$

• Uno stimatore ${\displaystyle T_{n}(X)}$ per un parametro ${\displaystyle \vartheta }$ si dice consistente in senso forte se al tendere a infinito della numerosità del campione, esso converge quasi certamente al valore del parametro.

Condizione sufficiente

Nella pratica non sempre è facile dimostrare la consistenza di uno stimatore sulla base della definizione presentata sopra. È spesso più semplice ricorrere al seguente risultato.

Condizione sufficiente affinché uno stimatore ${\displaystyle T_{n}(X)}$ per un parametro ${\displaystyle \vartheta }$ sia consistente in senso debole è che:

1. ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {E}}[T_{n}(X)]=\vartheta }$ (correttezza asintotica);
2. ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\textrm {var}}\left(T_{n}(X)\right)=0}$.

Esempi

Se ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ è un campione indipendente e identicamente distribuito e se ${\displaystyle \mu }$ è la media comune delle X (${\displaystyle \mu =E(X_{i})}$), allora la media campionaria ${\displaystyle {\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$ è uno stimatore consistente in senso forte in virtù della legge forte dei grandi numeri.

Se ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ è un campione dove le ${\displaystyle X_{i}}$ hanno media comune ${\displaystyle \mu }$, varianza comune finita e sono incorrelati, allora la media campionaria ${\displaystyle {\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$ è uno stimatore consistente in senso debole in virtù della legge debole dei grandi numeri.

Voci correlate

• Stimatore
• Correttezza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Completezza (statistica)