Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma ${\displaystyle f(x)=0}$.

Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).

Se ${\displaystyle f'(x)\cdot f''(x)>0}$, quindi se ${\displaystyle \,f(x)}$ è decrescente e concava (fig. 1) oppure se ${\displaystyle \,f(x)}$ è crescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione ${\displaystyle \,\{x_{n}\}}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione ${\displaystyle \,\{x_{m}\}}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Se ${\displaystyle f'(x)\cdot f''(x)<0}$ quindi se ${\displaystyle \,f(x)}$ è crescente e concava (fig. 3) oppure ${\displaystyle \,f(x)}$ è decrescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione ${\displaystyle \,\{x_{n}\}}$ crescente che approssima per difetto la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione ${\displaystyle \,\{x_{m}\}}$ decrescente che approssima per eccesso la radice.

Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione ${\displaystyle \,f(x)=0}$.

È possibile perciò, ove la funzione ${\displaystyle f}$ verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.

Primo esempio

Esempio 1: determinare le radici di ${\displaystyle \,x^{3}-2x-2=0}$ a meno di ${\displaystyle \,10^{-4}}$.

La funzione è definita e continua in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, inoltre, poiché ${\displaystyle {\mathop {\lim _{x\to +\infty }} {f\left({x}\right)}}=+\infty }$ e ${\displaystyle {\mathop {\lim _{x\to -\infty }} {f\left({x}\right)}}=-\infty }$ la curva incontra l'asse delle ${\displaystyle x}$ in almeno un punto.

Dallo studio delle derivate prima e seconda ${\displaystyle \,f'(x)=3x^{2}-2}$ e ${\displaystyle \,f''(x)=6x}$ si ricava che la funzione ha un massimo relativo in ${\displaystyle \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\,,\,{\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}-2\right)}$, un minimo relativo in ${\displaystyle \left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\,,\,-{\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}-2\right)}$ e un flesso a tangente obliqua in ${\displaystyle \,(0,-2)}$ e quindi la curva interseca l'asse delle ${\displaystyle x}$ in un solo punto. Inoltre ${\displaystyle \,f(1)=-3<0}$ e ${\displaystyle \,f(2)=2>0}$; perciò ${\displaystyle \,1<\alpha <2}$. Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.

Applicando il metodo delle tangenti, essendo ${\displaystyle \,f(x)}$ crescente e convessa nell'intervallo ${\displaystyle \,[1,2]}$ si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in ${\displaystyle \,B}$, in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene

${\displaystyle x_{0}=b-{\frac {f(b)}{f'(b)}}=2-{\frac {f(2)}{f'(2)}}=1.8}$

${\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=1.769948187}$

${\displaystyle x_{2}=x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}=1.769292663}$

poiché risulta ${\displaystyle \left|x_{2}-x_{1}\right|<10^{-3}}$, iterando ulteriormente si ottiene

${\displaystyle x_{3}=x_{2}-{\frac {f(x_{2})}{f'(x_{2})}}=1.769292354}$ da cui ${\displaystyle \left|x_{3}-x_{2}\right|<10^{-6}}$ e quindi ${\displaystyle \,\alpha =1.769292}$ è la radice approssimata per eccesso a meno ${\displaystyle \,10^{-6}}$ dopo 4 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti, essendo ${\displaystyle \,A=(1,-3)}$ e ${\displaystyle \,B=(2,2)}$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula

${\displaystyle x_{n+1}=b-f(b){\frac {x_{n}-b}{f(x_{n})-f(b)}}}$

si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:

${\displaystyle x_{0}=b-f(b){\frac {a-b}{f(a)-f(b)}})=1.6}$

la seconda secante passa per i punti ${\displaystyle \,B}$ e ${\displaystyle \,C=(x_{0},f(x_{0}))}$ essendo ${\displaystyle \,f(b)f(x_{0})=2(-0.0255)<0}$ da cui

${\displaystyle x_{1}=b-f(b){\frac {x_{0}-b}{f(x_{0})-f(b)}})=1.742268}$

${\displaystyle x_{2}=b-f(b){\frac {x_{1}-b}{f(x_{1})-f(b)}})=1.765259}$

${\displaystyle x_{3}\,=\,1.768696}$

${\displaystyle x_{4}\,=\,1.769204}$

${\displaystyle x_{5}\,=\,1.769279}$

dopo 6 iterazioni, essendo ${\displaystyle \left|x_{5}-x_{4}\right|<10^{-4}}$, ${\displaystyle \,\alpha =1.7692}$ è la radice approssimata per difetto a meno ${\displaystyle \,10^{-4}}$. Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore ${\displaystyle \,\alpha =1.7692}$ è esatto alla quarta cifra decimale.

Secondo esempio

Esempio 2: determinare le radici di ${\displaystyle \,e^{-x}-x+1=0}$ a meno di ${\displaystyle \,10^{-4}}$

Sia ${\displaystyle \,f(x)=e^{-x}-x+1}$. Si scrive l'equazione nella forma ${\displaystyle \,e^{-x}=x-1}$e si considerano le funzioni di equazioni ${\displaystyle \,y=e^{-x}}$ e ${\displaystyle \,y=x-1}$.

Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto ${\displaystyle P}$, pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto ${\displaystyle P}$ ed essendo ${\displaystyle \,f(1)={\frac {1}{e}}>0}$ e ${\displaystyle \,f(2)={\frac {1}{e^{2}}}-1<0}$, tale radice appartiene all'intervallo ${\displaystyle \,[1,2]}$. Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione ${\displaystyle \,f}$ è decrescente e convessa nell'intervallo ${\displaystyle \,[1,2]}$; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo ${\displaystyle A=\left(1,{\frac {1}{e}}\right)}$in cui la funzione ${\displaystyle \,f}$ e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto

${\displaystyle x_{0}=a-{\frac {f(a)}{f'(a)}}=1-{\frac {f(1)}{f'(1)}}=1.268941}$

${\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=1.278455}$

${\displaystyle x_{2}=x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}=1.278465}$

poiché risulta ${\displaystyle \left|x_{2}-x_{1}\right|<10^{-4}}$ si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di ${\displaystyle 10^{-4}}$ è ${\displaystyle \alpha =1.2784}$ dopo 3 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti essendo ${\displaystyle A=\left(1,{\frac {1}{e}}\right)}$ e ${\displaystyle B=\left(2,{\frac {1-e^{2}}{e^{2}}}\right)}$ i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso: ${\displaystyle \,x_{0}=a-f(a){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}=1.298472}$.

La seconda secante passa per i punti ${\displaystyle \,A}$ e ${\displaystyle \,C=(x_{0},f(x_{0}))}$ essendo ${\displaystyle f(a)f(x_{0})={\frac {1}{e}}(-0.0255)<0}$ da cui

${\displaystyle x_{1}=a-f(a){\frac {x_{0}-a}{f(x_{0})-f(a)}}=1.279108}$

${\displaystyle x_{2}=a-f(a){\frac {x_{1}-a}{f(x_{1})-f(a)}}=1.278485}$

${\displaystyle x_{3}=a-f(a){\frac {x_{2}-a}{f(x_{2})-f(a)}}=1.278465}$ ;

essendo ${\displaystyle \left|x_{3}-x_{2}\right|<10^{-4}}$, ${\displaystyle \,\alpha =1.2784}$ è la radice approssimata per eccesso a meno di ${\displaystyle \,10^{-4}}$ dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione