In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.
Un funzionale continuo Fréchet differenziabile F ∈ ∈ --> C 1 ( H , R ) {\displaystyle F\in C^{1}(H,\mathbb {R} )} da uno spazio di Hilbert H {\displaystyle H} ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione { u k } k = 1 ∞ ∞ --> ⊂ ⊂ --> H {\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H} tale che { F [ u k ] } k = 1 ∞ ∞ --> {\displaystyle \{F[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }} è limitato e F ′ [ u k ] → → --> 0 {\displaystyle F'[u_{k}]\rightarrow 0} in H ′ {\displaystyle H'} (spazio duale di H {\displaystyle H} ) ammette una sottosuccessione convergente.
Sia X {\displaystyle X} uno spazio di Banach e sia Φ Φ --> : : --> X → → --> R {\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbb {R} } un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione { x n } ⊂ ⊂ --> X {\displaystyle \{x_{n}\}\subset X} tale che:
esiste un punto critico x ¯ ¯ --> ∈ ∈ --> X {\displaystyle {\overline {x}}\in X} di Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } tale che i limiti superiore ed inferiore di Φ Φ --> ( x n ) {\displaystyle \Phi (x_{n})} soddisfano: