Classe monotona

Sia ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ un insieme e sia ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ un sottoinsieme dell'insieme delle parti di ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {P(X)}}}$. Allora ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ si dice classe monotona se:

• ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}}$ e ${\displaystyle A_{n}\uparrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}}$,
• ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}}$ e ${\displaystyle A_{n}\downarrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}}$.

Si noti che l'intersezione di un'arbitraria famiglia di classi monotone è ancora una classe monotona.
Se ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P(X)}}}$, l'intersezione di tutte le classi monotone contenenti ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ si dice classe monotona generata da ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

Lemma della classe monotona

Risultato importante è il cosiddetto Lemma della classe monotona, il quale afferma che:
Sia ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ un'algebra, allora la classe monotona generata da ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ coincide con la sigma-algebra( o σ-algebra) generata da ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$.

Voci correlate

• Lemma di Dynkin
• Sigma-algebra
• Teorema di Fubini