Algebra (teoria degli anelli)

In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un'algebra su di un anello commutativo è una generalizzazione del concetto di algebra su campo in cui il campo è rimpiazzato da un anello commutativo.

Definizione

Sia ${\displaystyle R}$ un anello commutativo. Una ${\displaystyle R}$-algebra è un ${\displaystyle R}$-modulo ${\displaystyle A}$ con un'operazione binaria ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$:

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A}$

detta ${\displaystyle A}$-moltiplicazione, che soddisfa il seguente assioma di bilinearità:

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]\qquad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

per ogni scelta di scalari ${\displaystyle a,b\in R}$ e di elementi ${\displaystyle x,y,z\in A}$.

Algebre associative

Se ${\displaystyle A}$ è un monoide rispetto alla ${\displaystyle A}$-moltiplicazione (è associativo e possiede l'identità), allora la ${\displaystyle R}$-algebra è un'algebra associativa. Si tratta di un omomorfismo ${\displaystyle f:R\to A}$ tale per cui l'immagine di ${\displaystyle f}$ è contenuta nel centro di ${\displaystyle A}$.

Bibliografia

• Serge Lang (2002): Algebra, 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95385-X. Chap. IV, VI

Voci correlate

• Algebra su campo
• Algebra abeliana
• Coalgebra
• algebra di Lie
• Semianello

Collegamenti esterni

• (EN) Unital associative algebras in PlanetMath