Di professione ingegnere meccanico, ottenne il titolo di Maestro Internazionale nel 1961 e di Grande Maestro nel 1965.
Si sposò con il grande maestro femminile Kira Zvorykina e nel 1951 nacque il loro primo figlio, Aleksandr. Vissero per un certo periodo in Bielorussia, dove presero parte a molti campionati nazionali. Aleksej vinse sei volte il campionato bielorusso e anche sua moglie Kira vinse il campionato femminile nel 1960.
Oltre che un forte giocatore, Suėtin fece da allenatore e da secondo a Tigran Petrosyan in molte sue partite, tra cui quella per il campionato del mondo del 1963, che vinse contro Michail Botvinnik. Per molti anni è stato il principale istruttore del circolo di Mosca, dove si occupava di seguire i giovani talenti.
Il suo primo importante successo è stata la vittoria di squadra e la medaglia d'oro individuale nel campionato del mondo per studenti di Lione nel 1955, dove realizzò l'80% dei punti.
Il suo stile di gioco rispondeva alla filosofia che «la padronanza del gioco non è sufficiente, bisogna essere audaci, prendere rischi».
Questa impostazione lo rese un avversario temibile, sempre proteso verso la vittoria.
Opere
Aleksej Suėtin scrisse molti libri di scacchi, specialmente sul mediogioco e sulle aperture, tra cui i seguenti:
Capire ed evitare gli errori negli scacchi, Prisma Editori, 1986.
Come giocare l'apertura, Caissa Szeged, collana “Piccola biblioteca di scacchi”, 1990.
Nei panni di un maestro, Caissa Szeged, collana “Piccola biblioteca di scacchi”
Il cammino... maestro, Caissa Szeged, collana “Piccola biblioteca di scacchi”
Preparazione teorica e psicologica dello scacchista, Caissa Szeged, collana “Piccola biblioteca di scacchi”
Three steps to Chess Mastery, Cadogan Press, 1997.
A contemporary Approach to the Middle Game, Batsford, 1976.
Plan Like a Grandmaster (con Ken Neat), Batsford, 1998.
Modern Chess Opening Theory, Pergamon, 1975.
The Complete Spanish (con Malcolm Gesthuysen), Batsford, 1992.
The Complete Grunfeld (con John Sugden), Batsford, 1992.