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Wikipédia:Pastiches/Numérotation arabo-romaine Cette page ou cette section contient des propos humoristiques qui ne prétendent ni avoir une valeur encyclopédique ni respecter la neutralité du point de vue ! La numérotation arabo-romaine est une nouvelle méthode pour écrire les nombres. Elle combine les avantages de la numérotation dite "romaine" avec les graphisme des chiffres importé par des travailleurs immigrés d'Afrique du nord. Les symbolesLa numérotation arabo-romaine utilise pour la représentation des nombres les symboles 1 5 0 , et plus accessoirement - . Elle est donc plus simple que la numérotation romaine qui utilise sept lettres pour finalement ne prendre en compte que les entiers positifs pas trop grands, et surtout la numérotation dite arabe qui utilise dix chiffres et deux caractères spéciaux. Commençons par compter jusqu'à dix
On le voit, la règle générale consiste à rajouter le chiffre 1 à droite du nombre précédent lorsqu'on progresse d'une unité. Toutefois, il y a le chiffre 5 qui vaut cinq fois la valeur du chiffre 1. Aussi, dès qu'on se rapproche de la valeur cinq, ce qui est le cas quand on arrive à quatre (même si on est tout seul), on indique que l'on soustrait un à cinq. Dans ce cas, le chiffre 1 est à gauche du 5. Le cas de la valeur neuf est similaire. Comptons de dix en dix maintenant
Si l'on compare l'écriture des nombres de ce paragraphe avec ceux du paragraphe précédent, on constate qu'il suffit de réécrire les nombres de la première série en rajoutant un 0 juste après chaque chiffre. Le symbole 0 correspond donc une multiplication par dix. Mais on verra plus tard qu'un 0 dans une partie décimale permet au contraire de diviser par dix. Le cas particulier de la valeur zéro qui devrait s'écrire pareil dans les deux paragraphes fait l'objet de nombreux débats mais on vous a déjà dit qu'on en parlera plus tard ! Construisons les nombres en associant des chiffresOn peut généraliser les règles que nous avons commencé à entrevoir pour écrire des nombres plus complexes qui, comme vous allez le constater sont parfaitement lisibles :
Le dernier exemple montre bien qu'on indique d'abord les valeurs importantes avant de rajouter du coté droit des valeurs plus faibles. Dans ce nombre, on a écrit dans l'ordre les milliers, les centaines, les dizaines et les unités. De la même manière, on peut écrire des valeurs d'années correspondant davantage à notre période actuelle :
Mais comment allons nous écrire l'année qui précède deux mille ? Surtout pas 110001000 ! Déjà, l'écriture 100011000 serait plus compréhensible (on soustrairait un au deuxième millier). Mais pour qu'un nombre soit lisible, il faut dans la mesure du possible le découper en (....), dizaines de milliards, milliards, centaines de millions, dizaines de millions, millions, centaines de milliers, dizaines de milliers, milliers, centaines, dizaines, unités (on verra plus tard les parties décimales). Ainsi, le nombre mille huit cent quatre vingt huit s'écrit tout simplement : De la même manière, l'écriture correcte du nombre qui est juste avant deux mille (10001000) est : ce qui est, vous en conviendrez, beaucoup plus facilement compréhensible que les écritures fantaisistes indiquées un peu plus haut. Zéro, zéro, zéro ... zéroComment l'écrire ?Maintenant que vous avez bien assimilé les règles de composition des nombres, on va pouvoir étudier la valeur zéro. Ceux qui pensent qu'il suffit d'écrire 0 n'ont rien suivi. Le caractère 0 sert à multiplier (ou diviser) par dix une autre valeur. Écrit tout seul, il n'a donc aucune signification (ce qui en soit est assez proche de la signification du nombre zéro). Pour représenter le nombre zéro (qui signifie rien du tout), les romains avaient une notation condensée qui consistait à ne rien écrire (ou plus exactement, ils écrivaient un I de moins que pour la valeur I (un)). On pourrait faire de même, mais pour parodier la célèbre expression de Chuck Norris, "lorsque ça va sans dire, c'est mieux en le disant", il peut être préférable d'écrire la valeur zéro. On a déjà eu l'occasion de soustraire une valeur à une autre en mettant la petite valeur à gauche de la grande comme dans :
Le problème est que si on écrit 11 (en pensant un moins un), on peut aussi lire deux (un plus un). La solution consiste à utiliser un caractère spécial pour préciser que l'on fait une soustraction avec le nombre qui suit. On met le caractère - entre ces 2 nombres. Ainsi : Le zéro s'écrit il toujours pareil ?La question qui se pose est : est-ce la seule manière d'écrire la valeur zéro ? Autant l'écriture de la valeur 1 (un) est unique, autant le débat n'est pas tranché pour la valeur zéro qui, d'après certains avis pourrait s'écrire d'une infinité de manières différentes. Ainsi, si l'on regarde comment sont écrits les nombres dans le cas d'un comptage de 10 en 10 (ceux qui n'ont pas compris de dix en dix peuvent recommencer la lecture de l'article, à condition de bien vouloir y consacrer plus d'attention), une autre écriture de la valeur zéro vient immédiatement à l'esprit : zéro s'écrirait 10-10 et il y aurait beaucoup d'autres possibilités :
À partir de là, deux clans aux idées opposées s'affrontent :
Les premiers font remarquer que tous les autres nombres s'écrivent de manière unique, et qu'il n'y a pas besoin de faire une exception pour le zéro. Ils choisissent donc l'écriture 1-1 qu'ils disent être la plus simple de toutes. Leurs adversaires font remarquer qu'écrire 5-5 n'est pas plus compliqué que 1-1, et que 10000100000500010001000100050010010010101015-10000100000500010001000100050010010010101015 est juste un peu plus long. Ils mettent en garde contre l'intégrisme qui consisterait à imposer une écriture unique pour le zéro et soupçonnent le clan opposé (étant donné que la numérotation arabo-romaine utilise les chiffres arabes) d'être à la solde de fanatiques musulmans. En marge de ces prises de position, un troisième groupe de personnes fait quant à lui remarquer que tous ces débats reviennent à des discussions pour rien, puisque c'est précisément à ça que correspond la valeur zéro. On peut noter que parmi les plus farouches partisans de l'écriture multiforme de la valeur zéro figurent les centres d'apprentissage aux métiers de la guerre. Ils font remarquer que la possibilité de choisir la manière d'écrire zéro relève de la démocratie, et que la démocratie doit être défendue, par la force si nécessaire. Contrairement à certaines idées reçues l'apprentissage des métiers de la guerre ne se limite pas à apprendre à compter de manière répétitive de 1 à 11. En plus des 10001 manières de trucider l'ennemi, l'apprentissage de la numérotation arabo-romaine est indispensable car elle fait la synthèse de plusieurs cultures. Et c'est nécessaire vu que la guerre se fait dans des pays étrangers. Aussi, à la fin de leur formation, pour montrer qu'ils sont bien décidés à défendre (par la force si nécessaire) la liberté, notamment celle qui consiste à choisir la manière d'écrire le zéro, les étudiants issus des centres d'apprentissage des métiers de la guerre ont prit l'habitude, après quelques apéros pour se donner du courage, de chanter un hymne à la liberté aux paroles très simples : "Zéro, zéro, zéro, zéro ...". Les nombres négatifsMaintenant qu'on sait écrire rien, on va étudier comment écrire moins que rien. Un nombre négatif, c'est en effet une valeur qu'on enlève à rien (ou à zéro si vous préférez). On a vu que pour enlever quelque chose, il suffit de mettre le nombre que l'on veut enlever suivi d'un - à gauche de ce qui suit, c'est à dire dans le cas présent à gauche de rien du tout. La suite des nombres négatifs est donc la suivante :
Les nombres décimauxOn a vu que le caractère 0 sert à faire des multiplications par 10 (dix). Par exemple, le chiffre 1 suivi du chiffre 0 signifie 1 multiplié par dix, qui fait dix. De la même manière on peut mettre des 0 avant un nombre pour indiquer une ou plusieurs divisions par dix. Ainsi on a les valeurs :
Reste à séparer la partie entière de la partie décimale des nombres pour éviter des difficultés de lecture (voire des ambiguïtés). Pour cela, on utilise le symbole , . Voici quelques exemples de nombres décimaux : Le nombre pi avec ses 101010 premières décimales 111,0100100500010000500000100001000000100000010000000500000001000000005000000000100000000010000 00000100000000005000000000005000000000001000000000001000000000001000000000000100000000000100000 00000000500000000000001000000000000010000000000000010000000000000100000000000000010000000000000 00100000000000000010000000000000000100000000000000001000000000000000001000000000000000001000000 00000000000100000000000000000050000000000000000001000000000000000000100000000000000000010000000 00000000000010000000000000000000500000000000000000000500000000000000000000100000000000000000000 01000000000000000000000100000000000000000000005000000000000000000000010000000000000000000000010 00000000000000000000005000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000 00100000000000000000000000001000000000000000000000000010000000000000000000000000100000000000000 00000000000050000000000000000000000000010000000000000000000000000010000000000000000000000000010 00000000000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000 00000000000000001000000000000000000000000000010000000000000000000000000000050000000000000000000 00000000001000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000100000000000000000000000 0000001 Le nombre pi multiplié par lui même (sur 1010110 décimales) 110,0501010100500100010010000500001000000100000050000000100000005000000000100000000000500000000 00010000000000010000000000010000000000001000000000001000000000000010000000000000100000000000001 00000000000000500000000000000050000000000000001000000000000000100000000000000010000000000000000 50000000000000000100000000000000000100000000000000000050000000000000000001000000000000000000100 00000000000000001000000000000000000050000000000000000000100000000000000000001000000000000000000 01000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000000100000000 00000000000005000000000000000000000010000000000000000000000500000000000000000000000100000000000 00000000000100000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000000100000 00000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000010000000000000000000 00000000050000000000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000000000 01000000000000000000000000000005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001 Le nombre d'or (avec 1010105111 ou 101010110 décimales, c'est pareil à cause de la dernière à 1-1) 1,050100100050001000100010000010000010000010000001000000100000010000000100000010000000050000000 01000000001000000001000000000500000000010000000001000000000100000000005000000000010000000000100 00000000010000000000050000000000001000000000001000000000000050000000000000100000000000001000000 00000001000000000000001000000000000010000000000000001000000000000000500000000000000005000000000 00000001000000000000000010000000000000000100000000000000000100000000000000000500000000000000000 05000000000000000000100000000000000000010000000000000000001000000000000000000010000000000000000 00010000000000000000000001000000000000000000000500000000000000000000005000000000000000000000005 00000000000000000000000100000000000000000000000100000000000000000000000100000000000000000000000 05000000000000000000000000100000000000000000000000005000000000000000000000000010000000000000000 00000000010000000000000000000000000100000000000000000000000000100000000000000000000000000100000 00000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000000000000000000500000000000000000 00000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000000000010000000000000000000000000 00005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000500000000000000000000000000000 00500000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000 00000100000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000050000000000000000000000 00000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000001000000000000000 00000000000000000001000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000500 00000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000 00000000000000500000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000010000 00000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000001 Le cours du lingot d'or le 51/110/100010005111 à 101 h 1010111 : Notez que ces Pi et le nombre d'or ne sont pas décimaux, ni même rationnels. On apprendra par la suite à les écrire. Discussion au sujet de la séparation des chiffresPour certains, écrire toute une série de chiffres les uns à la suite des autres n'est pas toujours très lisible. Ils préconisent de laisser un espace entre les symboles correspondant à une puissance de 10 différente. Ainsi, les premières décimales du nombre pi s'écriraient : 111 ,01 001005 0001 00005 00000100001 00000010000001 0000000500000001 000000005 000000000100000000010000000001 00000000005 000000000005000000000001000000000001000000000001 0000000000001000000000001 000000000000050000000000000100000000000001 00000000000000100000000000001 000000000000000100000000000000010000000000000001 0000000000000000100000000000000001 000000000000000001000000000000000001000000000000000001 0000000000000000005000000000000000000100000000000000000010000000000000000001 0000000000000000000100000000000000000005 000000000000000000005000000000000000000001 00000000000000000000010000000000000000000001 0000000000000000000000500000000000000000000001 000000000000000000000001000000000000000000000005 000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001 000000000000000000000000010000000000000000000000000100000000000000000000000001 000000000000000000000000005000000000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000000001 000000000000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000100000000000000000000000000001 000000000000000000000000000005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001 Les avis sont partagés sur l'intérêt de ces séparations. Pour les écologistes, ça revient à un gaspillage de papier. Il est certain que si on lit correctement les nombres en notation arabo-romaine, ce rajout d'espaces n'est pas nécessaire. De plus, il peut poser problème dans le cas de nombres manuscrits, puisqu'à moins d'une écriture soigneuse, on risque de compter des espaces là où il ne devrait pas y en avoir, ou inversement, ce qui va compliquer la lecture des nombres. Les nombres rationnelsComme le laissait supposer la fin du chapitre sur les nombres décimaux, les nombres utilisés comme exemples que sont pi et le nombre d'or, ne sont pas considérés par les mathématiciens intégristes comme des nombres décimaux (sous entendu, le singe qui a rédigé l'article a tapé n'importe quoi). Effectivement, pour les mathématiciens intégristes, les nombres décimaux sont le résultat de la division d'un nombre entier avec une puissance entière et positive de 10 (un 1 suivi de quelques zéros). En conséquence, le nombre de chiffres après la virgule d'un nombre décimal est fini. Ils ont également inventé les nombre rationnels qui sont le résultat de la division de 11 nombres entiers quelconques. Ces derniers peuvent s'écrire avec un nombre infini de chiffres après la virgule, mais dans ce cas, ces chiffres reviennent périodiquement. Prenons un exemple : Dans la numérotation arabe 4 / 3 = 1,33333... En numérotation arabo-romaine, ça donne : 15 / 111 = 1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001... On le voit, la valeur 111 revient régulièrement dans le résultat aux différentes positions après la virgule. Quelquefois, c'est une série de chiffres distincts qui revient périodiquement : Par exemple, en numérotation arabe : 41111 / 33300 = 1,23456456456456456... Dans la numérotation arabo-romaine, on a : 10000500001000100101 / 100001000010000100010001000100100100 = 1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001... La encore, la périodicité des chiffres du résultat saute aux yeux. Or, en introduisant la notion de nombre à boucle, la numérotation arabo-romaine permet de représenter cette périodicité des chiffres. Il suffit de mettre les chiffres qui reviennent entre parenthèses. La forme ronde des ( ) signifie que l'on tourne autour de ce qu'il y a à l'intérieur. Reste à définir comment écrire l'intérieur des ( ) . Écriture petite bouclisteDans l'écriture petite boucliste, le principe consiste à écrire entre les parenthèses les chiffres de la boucle tels qu'ils apparaîtraient dans le nombre écrit juste avec ses premières décimales. Ainsi, si on reprend les exemples précédents : 1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001... s'écrit 1,(010101) 1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001... s'écrit 1,0101001001001(0001000500005000005000001) La particularité de l'écriture petite boucliste est que l'intérieur des ( ) contient une petite valeur décimale, d'où son nom (il manquerait le 0, au début). Écriture grosse bouclisteL'écriture grosse boucliste conteste l'idée d'écrire la séquence de chiffres comme elle apparaît la première fois dans la représentation décimale du nombre, puisque elle s'écrit différemment dès la fois suivante. Cette écriture propose donc de simplifier le contenu de la boucle en y mettant la valeur entière qui correspond à la séquence de chiffres qu'elle contient. Ainsi : 1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001... s'écrit 1,(111) 1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001... s'écrit 1,0101001001001(1005005051) L'écriture grosse boucliste doit son nom au fait que l'intérieur de la boucle peut prendre des grandes valeurs si la séquence de chiffres qu'elle contient est longue. Avantages et inconvénients des |