En mathématiques , le théorème de composition des limites est un théorème de base de l'analyse réelle . Il permet d'exprimer une limite d'une fonction composée , connaissant les limites des fonctions la composant.
Énoncé
Le théorème ci-dessous est souvent énoncé en se restreignant au cas où les ensembles
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
sont des intervalles . Dans ce cas, dire que
a
{\displaystyle a}
est adhérent à
A
{\displaystyle A}
signifie simplement que
A
{\displaystyle A}
est non vide et que
a
{\displaystyle a}
est l'une de ses deux extrémités ou l'un de ses éléments.
Soient
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
deux parties de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,
f
:
A
→ → -->
B
{\displaystyle f:A\to B}
et
g
:
B
→ → -->
R
{\displaystyle g:B\to \mathbb {R} }
deux applications , et
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
trois points de la droite réelle achevée
R
¯ ¯ -->
=
R
∪ ∪ -->
{
− − -->
∞ ∞ -->
,
+
∞ ∞ -->
}
{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
, avec
a
{\displaystyle a}
adhérent à
A
{\displaystyle A}
.
Si
lim
x
→ → -->
a
f
(
x
)
=
b
et
lim
y
→ → -->
b
g
(
y
)
=
c
,
alors
lim
x
→ → -->
a
(
g
∘ ∘ -->
f
)
(
x
)
=
c
.
{\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.}
En particulier : si
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
est une suite à valeurs dans
B
{\displaystyle B}
et de limite
b
{\displaystyle b}
et si
lim
y
→ → -->
b
g
(
y
)
=
c
{\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=c}
, alors la suite
(
g
(
y
n
)
)
{\displaystyle (g(y_{n}))}
admet
c
{\displaystyle c}
pour limite.
Plus généralement, on a les mêmes implications lorsque
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
appartiennent respectivement à trois espaces topologiques
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
avec
A
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle A\subset X}
,
B
⊂ ⊂ -->
Y
{\displaystyle B\subset Y}
,
f
:
A
→ → -->
B
{\displaystyle f:A\to B}
,
g
:
B
→ → -->
Z
{\displaystyle g:B\to Z}
et
a
∈ ∈ -->
A
¯ ¯ -->
{\displaystyle a\in {\overline {A}}}
.
Application
Ce théorème est notamment utilisé pour lever les formes indéterminées de certaines fonctions par changement de variable.
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
Frédéric Denizet, Analyse - MPSI , Nathan , coll. « Classe prépa », 2008 (lire en ligne ) , p. 203