Théorème du point fixe de Browder

En mathématiques, le théorème du point fixe de Browder, démontré indépendamment en 1965[1] par Felix Browder[2] et William Arthur Kirk (en)[3], fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, dans le cas particulier des espaces de Banach uniformément convexes avec une hypothèse sur l'application moins forte que le théorème du point fixe de Banach ou avec une hypothèse sur la partie stable moins forte que le théorème du point fixe de Schauder.

Énoncé hilbertien

Théorème[4] — Dans un espace de Hilbert, si K est un convexe fermé borné non vide, alors toute application non expansive de K dans lui-même admet un point fixe.

Énoncé banachique

Théorème — Dans un espace de Banach uniformément convexe, si K est un convexe fermé borné non vide, alors toute application non expansive de K dans lui-même admet un point fixe.

Remarques

• Tout espace de Hilbert est de Banach et uniformément convexe.
• Ce résultat ne peut pas s'étendre aux espaces de Banach quelconques[2].
• Ne pas confondre ce théorème avec le célèbre théorème du point fixe de Brouwer, ni avec le théorème de Browder-Minty, démontré indépendamment en 1963 par Felix Browder et George Minty (de)[4],[5].

Notes et références

1. (en) K. Goebel (pl), « An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk », Michigan Math. J., vol. 16, n^o 4,‎ 1969, p. 381-383 (lire en ligne) .
2. (en) F. E. Browder, « Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space », PNAS, vol. 54,‎ 1965, p. 1041-1044 (lire en ligne) .
3. (en) W. A. Kirk, « A fixed point theorem for mappings which do not increase distances », Amer. Math. Monthly, vol. 72, 1965, p. 1004-1006.
4. S. Gonnord et N. Tosel, Topologie et analyse fonctionnelle : thèmes d'analyse pour l'agrégation, Ellipses, 1996 (ISBN 978-2-7298-9694-2), p. 121-125.
5. (en) Jan A. van Casteren, Markov Processes, Feller Semigroups and Evolution Equations, World Scientific, coll. « Series on Concrete and Applicable Mathematics » (n^o 12), 2011 (ISBN 9789814322188, lire en ligne), p. 381.