En mathématiques, le théorème de Niven, d'après Ivan Niven, énonce que les seules valeurs rationnellesθ dans l'intervalle 0° ≤ θ ≤ 90° telles que leur sinus soit aussi rationnel sont[1]:
Ce théorème apparaît comme le corollaire 3.12 de l'ouvrage de Niven sur les nombres irrationnels[2].
Le théorème s'étend à d'autres fonctions trigonométriques[2]. Pour des valeurs rationnelles de θ, les seules valeurs rationnelles du sinus et cosinus sont 0, ±1/2, et ±1 ; les seules valeurs rationnelles de la sécante et de la cosécante sont ±1 et ±2 ; et pour la tangente et cotangente, ce sont 0 et ±1[3].
↑A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Glass et Székely, « Fermat's last theorem for rational exponents », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 4, , p. 322–329 (DOI10.2307/4145241, JSTOR4145241, MR2057186)
Bibliographie
Olmsted, « Rational values of trigonometric functions », The American Mathematical Monthly, vol. 52, , p. 507–508 (JSTOR2304540)
Lehmer, « A note on trigonometric algebraic numbers », The American Mathematical Monthly, vol. 40, , p. 165–166 (DOI10.2307/2301023, JSTOR2301023)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778d2cd694809f428b1a92aac1ee3a3dfd52d817)
