Théorème de Lusin

En mathématiques, le théorème de Lusin ou Luzin est, pour l'analyse réelle, une autre forme du second principe de Littlewood, « toute fonction est presque continue ». Il a été énoncé en 1903 par Lebesgue, établi en 1905 par Vitali[1],[2] et redécouvert en 1912 par Nikolai Lusin[3].

Il énonce que toute fonction mesurable possède une restriction à une grande partie de son domaine de définition qui est continue.

Énoncé

Pour un intervalle [a, b], soit f : [a, b] → ℂ une fonction mesurable. Alors pour tout ε > 0, il existe un compact E ⊂ [a, b] tel que la restriction à E de f est continue (pour la topologie induite sur E) et la mesure de Lebesgue du complémentaire de E est inférieure à ε.

Exemple

Sur le segment [0, 1], la fonction indicatrice des rationnels est mesurable mais discontinue en tout point. Cependant, pour tout ε > 0, en choisissant une énumération (r_n) des rationnels de ce segment et en prenant le complémentaire (dans [0, 1]) de la réunion des intervalles ]r_n – 2^–2–nε, r_n + 2^–2–nε[, on obtient un compact E dont le complémentaire est de mesure inférieure à ε et la restriction de la fonction à E est constamment nulle donc continue.

Démonstration

Puisque les fonctions continues sont denses dans L^1([a, b]), il existe une suite (g_n) de fonctions continues telle que g_n → f dans L^1. De cette suite, on peut extraire une sous-suite (g_nk) telle que g_nk → f presque partout. En utilisant le théorème d'Egoroff, on a g_nk → f uniformément sauf sur un ensemble de mesure aussi faible que voulue. Comme l'ensemble des fonctions continues est fermé par convergence uniforme, cela termine la démonstration.

Notes et références

1. (en) William C. Bauldry, Introduction to Real Analysis : An Educational Approach, Wiley, 2011, 280 p. (ISBN 978-1-118-16443-3, lire en ligne), p. 165.
2. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 223 de la 2^e éd. en anglais, Springer, 1994.
3. N. N. Lusin, « Sur les propriétés des fonctions mesurables », C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 154,‎ 1912, p. 1 688-1 690.

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lusin's theorem » (voir la liste des auteurs).