Théorème de König (théorie des ensembles)

Le théorème de Kőnig en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius Kőnig (1849-1913).

Théorème de Kőnig

Il se démontre[1] à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi :

Théorème — Soient ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}$ deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble ${\displaystyle I}$ telles que pour tout élément ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$. On a alors :

${\displaystyle \qquad \sum _{i\in I}a_{i}<\prod _{i\in I}b_{i}}$.

Démonstration

Soit de tels ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$, ${\displaystyle (b_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle I}$.

Posons ${\displaystyle R}$ la réunion ${\displaystyle R:=\bigcup _{i\in I}(a_{i}\times \{i\})}$ puis ${\displaystyle P}$ le produit cartésien ${\displaystyle P:=\prod _{i\in I}b_{i}}$. On cherche à établir l'inégalité ${\displaystyle {\text{card}}(R)<{\text{card}}(P)}$. ${\displaystyle \,}$

D'une part, on introduit ${\displaystyle f}$ la fonction de ${\displaystyle R}$ dans ${\displaystyle P}$ définie par

${\displaystyle (\forall i\in I)(\forall \alpha \in a_{i})f(\alpha ,i)=\left(j\in J\mapsto {\begin{cases}\alpha {\text{ si }}j=i,\\a_{j}{\text{ sinon}}\end{cases}}\right).}$ Cette fonction est clairement injective de ${\displaystyle R}$ dans ${\displaystyle P}$. Donc, une première inégalité vient : ${\displaystyle {\text{card}}(R)\leqslant {\text{card}}(P)}$. ${\displaystyle \,}$

Cherchons d'autre part à raffiner l'inégalité. Soit ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ une suite (quelconque) de parties de ${\displaystyle P}$ satisfaisant ${\displaystyle (\forall i\in I){\text{card}}(P_{i})\leqslant a_{i}}$. Amenons pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$ une projection ${\displaystyle {\text{pr}}_{i}(P_{i})}$ de ${\displaystyle P_{i}}$ dans ${\displaystyle b_{i}}$, dont l'image est ainsi un sous-ensemble propre de ${\displaystyle b_{i}}$. L'axiome du choix assure en ces conditions l'existence d'une suite de choix ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ dans le produit ${\displaystyle P}$ telle que ${\displaystyle (\forall i\in I)p_{i}\notin {\text{pr}}_{i}(P_{i})}$. Une telle suite n'appartient à aucun ${\displaystyle P_{i}}$, pour ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, ce qui montre que ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}P_{i}\subsetneq P}$. On peut conclure sur la négation ainsi donnée de l'égalité ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\prod _{i\in I}b_{i}}$. C.Q.F.D.

Corollaire

Corollaire — La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.

Démonstration

ℝ^ℕ étant équipotent à ℝ, il suffit d'appliquer le théorème de König avec ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ et ${\displaystyle \forall i\in I\quad b_{i}=\mathbb {R} }$.

Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu (voir également le théorème d'Easton).

Références

1. On pourra consulter La théorie des ensembles: Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux de Patrick Dehornoy, édition Calvage et Mounet, au chapitre V point 2.2.5. La démonstration qui suit est directement empruntée à celle présentée dans cet ouvrage.