Théorème de Dvoretzky

Dans la théorie mathématique des espaces de Banach, le théorème de Dvoretzky est un résultat de structure important démontré par Aryeh Dvoretzky au début des années 1960[1], résolvant une conjecture de Grothendieck de 1956[2]. Vitali Milman en donna une nouvelle preuve dans les années 1970[3]. Ce fut l'un des points de départ du développement de l'« analyse géométrique asymptotique » (aussi appelée « analyse fonctionnelle asymptotique » ou « théorie locale des espaces de Banach »)[4].

Formulation originale

Pour tout entier naturel k et tout réel ε > 0, il existe un entier naturel n(k, ε) tel que tout espace vectoriel normé de dimension n(k, ε) possède un sous-espace de dimension k dont la distance de Banach-Mazur à ℓ^2(k) soit majorée par 1 + ε. [2]

Pour un sous-espace normé (E, ‖.‖) de dimension k, dire que la distance de E à ℓ^2(k) (l'espace euclidien de dimension k) est majorée par 1 + ε revient à dire qu'il existe sur E une norme |.| euclidienne (i.e. racine carrée d'une forme quadratique définie positive) telle que :

${\displaystyle \forall x\in E,\quad |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|.}$

Développements ultérieurs

En 1971, Vitali Milman a donné une nouvelle preuve de ce théorème, par une méthode probabiliste, en utilisant la concentration de mesure sur la sphère pour montrer qu'un sous-espace de dimension k choisi aléatoirement est à distance inférieure à 1 + ε de ℓ^2(k) avec une probabilité très proche de 1. La preuve donne une estimation fine en fonction de k :

${\displaystyle n(k,\varepsilon )\leq \exp \left({\frac {k}{c(\varepsilon )}}\right).}$

Autrement dit, tout espace normé X de dimension n possède un sous-espace de dimension k ≥ c(ε) log n à distance inférieure à 1 + ε de ℓ^2(k).

Plus précisément, soient S^n – 1 la sphère unité pour une certaine norme euclidienne |.| sur X et σ la mesure de probabilité invariante sur S^n – 1, alors :

• pour |.| fixée, il existe un sous-espace E sur lequel l'encadrement ci-dessus est vérifié et pour lequel${\displaystyle \dim(E)\geq c(\varepsilon )\left({\frac {\int _{S^{n-1}}\|\xi \|~{\rm {d}}\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{n-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}n~;}$
• il existe sur X une norme euclidienne |.| telle que${\displaystyle {\frac {\int _{S^{n-1}}\|\xi \|~{\rm {d}}\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{n-1}}\|\xi \|}}\geq c_{1}{\sqrt {\frac {\log n}{n}}},}$où c₁ est une constante universelle.

Le plus grand k possible est noté k_✻(X) et appelé la dimension de Dvoretzky de X. Sa dépendance par rapport à ε a été étudiée par Yehoram Gordon[5],[6], qui a démontré que k_✻(X) ≥ c₂ ε^2 log n. Une autre démonstration en a été donnée par Gideon Schechtman[7].

Noga Alon et Vitali Milman ont montré que si l'on demande seulement qu'il existe un sous-espace de dimension k proche soit de ℓ^2(k), soit de ℓ^∞(k), cette borne en log n peut être améliorée en k ≥ exp(c√log n), pour une certaine constante c[8].

Tadeusz Figiel, Joram Lindenstrauss et Milman ont démontré d'importants résultats liés[9].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dvoretzky's theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) A. Dvoretzky, « Some results on convex bodies and Banach spaces », dans Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960), Jerusalem Academic Press, 1961, p. 123-160
2. (en) V. Milman, « Dvoretzky Theorem – Thirty Years Later », Geometric and Functional Analysis, vol. 2, n^o 4,‎ 1992, p. 455-479 (lire en ligne)
3. (en) V. D. Milman, « A new proof of A. Dvoretzky's theorem on cross-sections of convex bodies (ru) », Funkcional. Anal. i Prilozhen., vol. 5, n^o 4,‎ 1971, p. 28-37
4. (en) W. T. Gowers, « The two cultures of mathematics », dans Mathematics: frontiers and perspectives, AMS, 2000 (ISBN 978-0-8218-2070-4, lire en ligne), p. 65-78. « The full significance of measure concentration was first realized by Vitali Milman in his revolutionary proof [Mil1971] of the theorem of Dvoretzky […] Dvoretzky's theorem, especially as proved by Milman, is a milestone in the local (that is, finite-dimensional) theory of Banach spaces. While I feel sorry for a mathematician who cannot see its intrinsic appeal, this appeal on its own does not explain the enormous influence that the proof has had, well beyond Banach space theory, as a result of planting the idea of measure concentration in the minds of many mathematicians. »
5. (en) Y. Gordon, « Some inequalities for Gaussian processes and applications », Israel J. Math., vol. 50, n^o 4,‎ 1985, p. 265-289 (DOI 10.1007/BF02759761)
6. (en) Y. Gordon, « Gaussian processes and almost spherical sections of convex bodies », Ann. Probab., vol. 16, n^o 1,‎ 1988, p. 180-188 (lire en ligne)
7. (en) G. Schechtman, « A remark concerning the dependence on ε in Dvoretzky's theorem », dans Geometric Aspects of Functional Analysis (1987-88), Springer, coll. « Lecture Notes in Math. » (n^o 1376),‎ 1989 (ISBN 0-387-51303-5), p. 274-277 [lien DOI]
8. (en) N. Alon et V. D. Milman, « Embedding of ${\displaystyle l_{\infty }^{k}}$ in finite-dimensional Banach spaces », Israel J. Math., vol. 45, n^o 4,‎ 1983, p. 265-280 (DOI 10.1007/BF02804012)
9. (en) T. Figiel, J. Lindenstrauss et V. D. Milman, « The dimension of almost spherical sections of convex bodies », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 82, n^o 4,‎ 1976, p. 575-578 (lire en ligne)