Théorème d'interversion série-intégrale

En analyse, divers théorèmes d'interversion série-intégrale donnent des conditions suffisantes d'intégration terme à terme de la somme d'une série de fonctions.

Version intégrale de Lebesgue

Théorème — Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré complet (par exemple un intervalle de ℝ, muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue), E un espace euclidien (par exemple ℝ ou ℂ) et ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions intégrables de X dans E. On suppose que la série numérique ${\displaystyle \sum _{n}\left(\int \|f_{n}\|~\mathrm {d} \mu \right)}$ converge.

Alors la série de fonctions ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et

${\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \right).}$

Remarques

• Ce théorème se déduit des théorèmes de convergence monotone et dominée. L'intégrabilité de la série et l'interversion de ${\displaystyle \sum }$ et ${\displaystyle \int }$ subsistent sous une hypothèse bien plus faible : il suffit[1] que la série ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge presque partout et qu'il existe une fonction intégrable ${\displaystyle g}$ telle que, pour tout entier ${\displaystyle N,\left|\sum _{n\leq N}f_{n}\right|\leq g}$.
• C'est un cas particulier des théorèmes de Fubini où une des intégrales se fait par rapport à la mesure de comptage sur ℕ.
• Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.

Version convergence uniforme sur un segment

Théorème — Soient I un segment de ℝ et ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions continues de I dans E.

On suppose que la série de fonctions ${\displaystyle \sum f_{n}}$ converge uniformément sur I vers une fonction S.

Alors S est continue sur I et

${\displaystyle \int _{I}S(x)~\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{I}f_{n}(x)~\mathrm {d} x\right).}$

Références

1. N. Bourbaki, Intégration, chapitres 1 à 4, Springer, 2007 (lire en ligne), chap. IV, § 4, p. 144, corollaire 2.

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Interversion série-intégrale pour une série de fonctions positives