Steeve Blanc-Mappaz naît à Albertville[2]. Il grandit à Aiton dans le département de la Savoie[3]. Il commence le rugby à l'US Montmélian, avant de rejoindre le Stade olympique Ugine Albertville[4], puis de jouer pour le SO Chambéry[3].
Après une saison en Bretagne, il s'engage pour deux saisons au FC Grenoble pour la saison 2018-2019 en Top 14[9]. Après avoir connu une relégation en Pro D2 au terme de sa première saison, il prolonge son contrat pour deux saisons supplémentaires en [10]. À partir de , il devient le capitaine du club isérois[11]. Au mois de mai de la même année, il se réengage avec le FCG jusqu'en 2024[12].
Durant la saison 2022-2023, son club termine à la deuxième place de la phase régulière du championnat[13] et se qualifie jusqu'en finale où il affronte Oyonnax[14]. Pour ce match, Steeve Blanc-Mappaz est titulaire et joue toute la rencontre[15] mais le FC Grenoble s'incline sur le score de 14 à 3[16].
En 2023-2024, il est de nouveau finaliste de Pro D2 et affronte cette fois le RC Vannes.
Pour cette finale[17], comme l'année précédente, les Grenoblois sont battus aux portes du Top 14, sur le score de 16 à 9[18]. En barrage pour la montée en première division, le FC Grenoble fait face au Montpellier HR[19].
Cependant, pour la deuxième année consécutive, son club rate la montée lors du barrage défait à trois minutes de la fin 18-20[20]. Il s'agit alors de son dernier match avec son club du FCG[21]. Cette saison aura également été marquée par un record pour Blanc-Mappaz avec plus de 2600 minutes jouées en 34 matchs[22].
