Sorcière d'Agnesi

En mathématiques, la courbe d'Agnesi est une courbe particulièrement étudiée par Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799).

On appelle souvent cette courbe la « sorcière d'Agnesi », à la suite d'une erreur de traduction depuis l'italien.

La courbe

Définition

Elle est définie comme suit :

• sur un cercle fixe, on choisit un point O ; le point M est diamétralement opposé à O ;
• à partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante [OA) ;
• l'intersection de la droite (OA) et de la tangente au cercle en M se fait au point N ;
• la droite parallèle à (OM) passant par N, et la droite perpendiculaire à (OM) passant par A, se rencontrent en P ;
• la courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.

La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.

Équations

Construction de la courbe d'Agnesi.

On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le diamètre du cercle est a.

L'équation cartésienne de la courbe est alors : ${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}}$.

Si x = 0, y = a.

Paramétriquement, si θ est l'angle (OM, OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :

${\displaystyle x=a\tan \theta ,y=a\cos ^{2}\theta .\,}$

Propriétés

• La surface comprise entre la courbe et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit π a^2.
• Le volume délimité par la surface de révolution autour de l'asymptote est de 4 π^2 a^3.
• Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées (0, a/2), soit au centre du cercle.

Histoire

Cette courbe a été étudiée par Pierre de Fermat, par Guido Grandi en 1703 (il lui donne le nom de versiera[1] dans Quadratura circuli et hyperbolae, Pise, 1703) et par Maria Gaetana Agnesi en 1748 dans Instituzioni analitiche[2].

En italien, on l'appelle la versiera di Agnesi. Elle a pris son nom de « sorcière » à la suite d'une erreur de John Colson, professeur lucasien à Cambridge, traducteur d'Agnesi, qui confond la versiera avec l'avversiera (la sorcière)[3]. On ne sait pas si Colson, mort depuis quarante ans au moment de la publication, aurait corrigé cette erreur.

À l'occasion du 296^e anniversaire de la naissance de Maria Gaetana Agnesi, Google [1] lui dédie un doodle avec une animation de la construction de la courbe.

Notes et références

1. du latin versoria, cordage qui sert à porter la voile d'un bord à l'autre.
2. (it) Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, Tome I, p. 380, probleme III, §238 (numérisation e-rara.ch)
3. C. Truesdell, « Maria Gaetana Agnesi », Arch. Hist. Exact. Sci, vol. 40, n^o 2,‎ 1989, p. 113-142

Liens externes

• (en) Engines of Our Ingenuity. Episode No. 217: The Witch of Agnesi par John H. Lienhard