Robert Müller commence le hockey au sein du club de sa ville natale Starbulls Rosenheim. En 1996, il joue avec l'équipe junior[1]. À la fin de la saison, il participe avec l'équipe nationale au championnat d'Europe junior dans la division A[2] mais son équipe finit dernière de sa poule puis est reléguée en division B en perdant deux matchs à un contre l'Ukraine[3]. Il commence sa carrière senior au cours de la saison suivante, en 1997-1998 avec l'EHC Klostersee qui évolue alors dans le la championnat d'Allemagne de deuxième division, la 2. liga[2]. Füssen et Memmingen accueillent le groupe B du championnat d'Europe junior de 1997 et devant leur public, les joueurs allemands finissent à la première place du classement du tournoi alors que Müller est élu meilleur gardien de la compétition[4].
À la suite de cette saison, il retourne jouer avec son club formateur pour la saison 1998-1999 alors que l'équipe évolue dans le championnat d'Allemagne, la Deutsche Eishockey Liga. Müller reste deux saisons avec son équipe en élite alors qu'elle finit dans la deuxième moitié du classement. En , il est sélectionné pour la première fois avec l'équipe nationale pour jouer le championnat du monde 1999 en division B. En , il participe avec l'équipe junior d'Allemagne au championnat du monde ; l'Allemagne ne perd qu'une seule rencontre du tournoi mais c'est suffisant pour lui interdire la montée qui est décrochée par le Belarus[5]. Avec 93,75 % d'arrêts, Müller est le meilleur gardien du tournoi[6]. Quelques mois plus tard, en , Müller est un des trois gardiens de l'équipe nationale au cours du championnat du monde[7]. L'Allemagne finit à la première place du classement de la division B et gagne ainsi sa place pour la saison suivante en élite[8].
De retour à Mannheim, une tumeur du cerveau connue sous le nom de Glioblastome multiforme est décelée en chez Müller. Une partie de la tumeur est enlevée lors d'une opération suivie d'une chimiothérapie et d'une radiothérapie plus tard dans l'année et Müller peut revenir au jeu en février. Les aigles remportent le titre 2007. Courant 2008, il est prêté à l'EV Duisbourg. L'équipe remporte six matchs sur douze avant que Müller intègre l'effectif des Kölner Haie[9]. Il retrouve son meilleur niveau et l'équipe s'incline en finale contre les Eisbären Berlin[10]. Mais durant l'été sa tumeur croît encore[11],[12]. Il revient au jeu pour la saison 2008-2009 mais très vite la maladie reprend le dessus et il joue son dernier match le [13].
Au mois de mars, il est admis au Temple de la renommée du hockey allemand[14]. Il subit une seconde opération en août mais il décède le . Son numéro 80 est alors retiré par le club de Cologne[15]. Il laisse derrière lui sa femme, Jenny, et leurs deux enfants : une fille, Lena, et un garçon, Luis[14].
