Représentation X

En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation X ou réalisation-X est la représentation dans laquelle l'opérateur de position ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|x\right\rangle =x\left|x\right\rangle }$

Comme l'opérateur ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle =x\left|\psi \right\rangle }$

Dans cette représentation, l'opérateur d'impulsion ${\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }$ selon l'axe unique est tel que :

${\displaystyle \langle x|\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =\langle x|-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle }$

Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :

${\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle }$

Il faut distinguer cette représentation de la représentation P dans laquelle l'opérateur d'impulsion s'écrit simplement ${\displaystyle p_{x}}$.