Relations d'Ehrenfest

En mécanique quantique, les relations d’Ehrenfest font le lien avec la mécanique newtonienne.

Formulation

Les relations d’Ehrenfest s’écrivent :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\langle {\vec {r}}\rangle ={1 \over m}\,\langle {\vec {p}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\langle {\vec {p}}\rangle =-\langle \,\nabla V({\vec {r}})\rangle }$

L’une dans l’autre, ces relations conduisent à l’expression :

${\displaystyle m\,{\mathrm {d} ^{2} \over {\mathrm {d} t}^{2}}\langle {\vec {r}}\rangle =-\langle \nabla V({\vec {r}})\rangle }$

Les notations ${\displaystyle \langle {\vec {r}}\rangle }$ et ${\displaystyle \langle {\vec {p}}\rangle }$ désignent respectivement les valeurs moyennes de la position et de l’impulsion d’une particule dans un état ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$. Formellement, il s’agit de la moyenne des différentes valeurs propres des opérateurs ${\displaystyle {\hat {r}}}$ et ${\displaystyle {\hat {p}}}$ associés à la position d’une particule et à son impulsion, compte tenu des probabilités d’occurrence en un certain temps ${\displaystyle t}$ de ces valeurs propres.

Notes et références

• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition].
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique : + de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques, Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas, De Boeck supérieur, 2018, 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne), p. 249.

Articles connexes

• Théorème d'Ehrenfest