Règle de Raabe-Duhamel

En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé

Règle de Raabe-Duhamel[1] — Soit ${\displaystyle \left(u_{n}\right)}$ une suite de réels strictement positifs.

• Si (à partir d'un certain rang) ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}}$, alors ${\displaystyle \sum u_{n}}$ diverge.
• S'il existe ${\displaystyle b>1}$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}}$, alors ${\displaystyle \sum u_{n}}$ converge.

Cette règle est un corollaire immédiat[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite ${\displaystyle \left(n\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\right)\right)_{n}}$ admet une limite réelle - α, ce qui équivaut à

${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {\alpha }{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)}$,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

• si α < 1, ${\displaystyle \sum u_{n}}$ diverge ;
• si α > 1, ${\displaystyle \sum u_{n}}$ converge.

Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

Exemple

Soient ${\displaystyle x,y>0}$. La série de terme général ${\displaystyle u_{n}={\frac {x\left(1+x\right)\left(2+x\right)\dots \left(n+x\right)}{y\left(1+y\right)\left(2+y\right)\dots \left(n+y\right)}}}$ est divergente si ${\displaystyle y\leq x+1}$ et convergente si ${\displaystyle y>x+1}$[3]. En effet : ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {y-x}{n+1+y}}}$.

Règle de Kummer

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit[4],[5] :

Soient (u_n) et (k_n) deux suites strictement positives.

• Si ∑1/k_n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k_nu_n/u_n+1 – k_n+1 ≤ 0, alors ∑u_n diverge.
• Si lim inf (k_nu_n/u_n+1 – k_n+1) > 0, alors ∑u_n converge.

Henri Padé a remarqué en 1908[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs[2].

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand[7] (en prenant k_n = n ln(n)), dont le critère de Gauss[8],[9] est une conséquence.

Notes et références

1. (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité.
3. (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 (lire en ligne), p. 33, exemple 2.
4. (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
5. La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si (k_nu_n/u_n+1 – k_n+1) admet une limite ρ : la série ∑u_n diverge si ρ < 0 et ∑1/k_n = +∞, et converge si ρ > 0.
6. B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2^e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », 2005 (lire en ligne), p. 264.
7. (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
8. (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
9. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld.

Bibliographie

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221