Processus adapté

Dans l’étude des processus stochastiques, un processus adapté est un processus qui ne peut pas «voir l’avenir». Une interprétation informelle [1] est qu'un processus X est adapté si et seulement si, pour chaque réalisation et chaque n, X _n est connu au temps n . Le concept de processus adapté est essentiel, par exemple, dans la définition de l'intégrale d'Itô, qui n'a de sens que si l'intégrant est un processus adapté.

Définition

Soient

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ un espace de probabilité ;
• ${\displaystyle I}$ l'ensemble des indices (souvent ${\displaystyle I}$est ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle [0,T]}$ou ${\displaystyle [0,+\infty )}$)
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\cdot }=\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$une filtration de la σ-algèbre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;
• ${\displaystyle (S,\Sigma )}$un espace mesurable, l'espace d'états ;
• ${\displaystyle X:I\times \Omega \to S}$ un processus stochastique .

Le processus ${\displaystyle X}$ est dit adapté à la filtration ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$ si la variable aléatoire ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$ est une ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )}$- fonction mesurable pour chaque ${\displaystyle i\in I}$[2].

Voir également

• Processus prévisible
• Processus progressivement mesurable

Références

1. (en) David Wiliams, Diffusions, Markov Processes and Martingales : Foundations, vol. 1, Wiley, 1979 (ISBN 0-471-99705-6), « II.25 »
2. (en) Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications, Springer, 2003, 360 p. (ISBN 978-3-540-04758-2, lire en ligne), p. 25