Problème de couverture maximale

En algorithmique, le problème de couverture maximale consiste à couvrir un nombre maximal d'éléments avec au plus k sous-ensembles mis à disposition.

Ce problème algorithmique est NP-dur et il existe des algorithmes d'approximation pour le résoudre[1],[2]. C'est une variante du problème de couverture par ensembles.

Définition

L'entrée du problème est un ensemble d'éléments, une liste de sous-ensembles de cet ensemble et un entier k, et l'on doit trouver k sous-ensembles tels que le nombre d'éléments appartenant à au moins l'un de ceux-ci est maximisé. On dit qu'un élément est couvert s'il appartient à l'un des sous-ensembles sélectionnés.

Optimisation linéaire en nombre entier

On peut formaliser le problème comme un problème d'optimisation linéaire en nombre entier:

maximiser	${\displaystyle \sum _{e_{j}\in E}y_{j}}$	(maximiser le nombre d'éléments couverts)
sous les contraintes	${\displaystyle \sum {x_{i}}\leq k}$	(au plus ${\displaystyle k}$ sous-ensembles sont sélectionnés)
	${\displaystyle \sum _{e_{j}\in S_{i}}x_{i}\geq y_{j}}$	(si ${\displaystyle y_{j}>0}$ alors au moins un sous-ensemble ${\displaystyle e_{j}\in S_{i}}$ est sélectionné)
	${\displaystyle y_{j}\in \{0,1\}}$	(si ${\displaystyle y_{j}=1}$ alors ${\displaystyle e_{j}}$ est couvert)
	${\displaystyle x_{i}\in \{0,1\}}$	(si ${\displaystyle x_{i}=1}$ alors ${\displaystyle S_{i}}$ sélectionné)

Extensions

Citons deux extensions :

• Le problème de couverture maximale avec budget[3] consiste à attribuer un coût à chaque sous-ensemble. L'objectif est toujours de maximiser le nombre d'éléments couverts mais sans dépasser un budget alloué.
• Le problème de couverture maximale généralisé[4] consiste à attribuer un coût à chaque sous-ensemble, ainsi qu'un coût et un poids à chaque élément selon quel sous-ensemble le couvre.

Bibliographie

• Vijay V. Vazirani, Approximation Algorithms, Springer-Verlag, 2001, 380 p. (ISBN 3-540-65367-8, lire en ligne)

Références

1. (en) G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey et M. L. Fisher, « An analysis of approximations for maximizing submodular set functions—I », Mathematical Programming, vol. 14, n^o 1,‎ 1^er décembre 1978, p. 265–294 (ISSN 0025-5610 et 1436-4646, DOI 10.1007/BF01588971, lire en ligne, consulté le 4 janvier 2018)
2. Approximation Algorithms for NP-hard Problems, PWS Publishing Co., 1997, 596 p. (ISBN 0-534-94968-1, lire en ligne)
3. « The budgeted maximum coverage problem », Information Processing Letters, vol. 70, n^o 1,‎ 16 avril 1999, p. 39–45 (ISSN 0020-0190, DOI 10.1016/S0020-0190(99)00031-9, lire en ligne, consulté le 4 janvier 2018)
4. « The Generalized Maximum Coverage Problem », Information Processing Letters, vol. 108, n^o 1,‎ 15 septembre 2008, p. 15–22 (ISSN 0020-0190, DOI 10.1016/j.ipl.2008.03.017, lire en ligne, consulté le 4 janvier 2018)