Certains auteurs[1] définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel Mm,n(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.
Pour d'autres[2], une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre Mn(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.
On peut aussi voir une matrice A ∈ Mm,n(K) comme un opérateur linéaire de Kn dans Km et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur Kn et Km. Par exemple, si l'on munit Km de la norme p et Kn de la norme q (avec p, q ∈ [1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur
Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité . Plus précisément, on peut montrer que la plus grande fonction convexefermée qui minore le rang sur est la restriction à cette boule de la norme nucléaire.
Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant l'indicatrice de , à dire que la biconjuguée de la fonction est la fonction [6],[7]. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient , une identité de peu d'utilité.
Pour toute norme N sur Mn(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle que.Par suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur Mn(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.
↑M. Ghil et J. Roux, Mathématiques Appliquées aux sciences de la Vie et de la Planète : Cours et exercices corrigés, Dunod, , 400 p. (ISBN978-2-10-056033-2, lire en ligne), p. 50.
↑(en) Are Hjørungnes, Complex-Valued Matrix Derivatives : With Applications in Signal Processing and Communications, CUP, (lire en ligne), p. 121.
↑(en) B. Recht, M. Fazel et P. Parrilo, « Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization », SIAM Review, vol. 53, , p. 471-501 (DOI10.1137/070697835).
↑(en) M. Fazel, Matrix rank minimization with applications : PhD thesis, Stanford (Californie), Department of Electrical Engineering, université Stanford, .
↑Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). Le rang étant une fonction à valeurs entières, donc difficile à minimiser, on préfère parfois considérer l'approximation convexe du problème qui consiste à y minimiser la norme nucléaire.