Nombre strictement non palindrome

Un nombre strictement non palindrome est un entier n qui n'est un palindrome dans aucune base b avec 2 ≤ b ≤ n − 2[1]. Les premiers sont : 0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …

Définition

Pour vérifier qu'un nombre n est strictement non palindrome, il suffit de vérifier qu'il n'est pas un palindrome dans toutes les bases b à partir de 2 jusqu'à n-2. La limite supérieure s'explique ainsi :

  • tout nombre n ≥ 2 s'écrit 11 en base n − 1, donc n est toujours un palindrome en base n − 1 ;
  • tout nombre n ≥ 2 s'écrit 10 en base n, donc n n'est jamais un palindrome en base n ;
  • tout nombre n ≥ 1 a un seul chiffre en base b > n, donc n est toujours un palindrome dans ces bases.

Exemples

Le nombre 6

Il s'écrit 110 en base 2, 20 en base 3 et 12 en base 4. Aucun de ces nombres n'est un palindrome donc 6 est strictement non palindrome.

Le nombre 167

base : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 162 163 164 165
167 s'écrit : 10100111 20012 2213 1132 435 326 247 205 167 142 11B CB BD B2 A7 9E 95 8F 87 7K 7D 76 6N 6H ... 15 14 13 12

Quelle que soit la base b vérifiant la condition 2 ≤ b ≤ 165, 167 ne s'écrit pas sous la forme d'un palindrome : c'est un nombre strictement non palindrome.

Propriétés

Tout nombre strictement non palindrome supérieur à 6 est premier. Pour montrer qu'un nombre composé n > 6 ne peut pas être strictement non palindrome, il faut que pour tout n > 6 il existe une base b dans laquelle n est un palindrome.

  • Si n est pair, n s'écrit 22 (un palindrome) dans la base b = n/2 − 1 (puisque n>6 alors n/2 − 1 > 2).

Quand n est impair, on écrit n = p · m où p est le plus petit facteur premier de n. Puisque n est un nombre composé alors p ≤ m.

  • Si p = m = 3, alors n = 9 s'écrit 1001 (un palindrome) en base b = 2.
  • Si p = m > 3, alors n s'écrit 121 (un palindrome) en base b = p − 1. (puisque p > 3, alors p − 1 > 2)
  • Si p < m − 1, alors n s'écrit pp (un nombre à deux chiffres identiques donc un palindrome) en base b = m − 1.

Remarque : le cas p = m − 1 n'existe pas car p et m sont impairs.

On peut aisément vérifier que dans chaque cas la base est dans l'intervalle 2 ≤ b ≤ n − 2 et que les chiffres ai de chaque palindrome sont dans l'intervalle 0 ≤ ai < b. Comme ces conditions ne sont pas vérifiées si n ≤ 6, les nombres 1, 4 et 6 sont strictement non palindromes bien qu'ils ne soient pas premiers.

Références

  1. ↑ (en) « A016038 - OEIS », sur oeis.org (consulté le )

Articles connexes