Nombre d'Euler

Les nombres d'Euler ${\displaystyle E_{n}}$ forment une suite d'entiers naturels[1] définis par le développement en série de Taylor suivant :

${\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

On les appelle aussi parfois les nombres sécants, du nom de la fonction sécante, ${\displaystyle \sec =1/\cos }$. Ils forment la la suite A000364 de l'OEIS.

Premiers nombres d'Euler

Les premières valeurs sont :

${\displaystyle E_{0}=}$ 1

${\displaystyle E_{1}=}$ 1

${\displaystyle E_{2}=}$ 5

${\displaystyle E_{3}=}$ 61

${\displaystyle E_{4}=}$ 1 385

${\displaystyle E_{5}=}$ 50 521

${\displaystyle E_{6}=}$ 2 702 765

${\displaystyle E_{7}=}$ 199 360 981

${\displaystyle E_{8}=}$ 19 391 512 145

${\displaystyle E_{9}=}$ 2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante :

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}=1+E_{1}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{2}{\frac {x^{4}}{4!}}+E_{3}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots }$

et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh x}}=1-E_{1}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{2}{\frac {x^{4}}{4!}}-E_{3}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots }$.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire : ${\displaystyle E_{n}=A_{2n}}$. Une configuration zig-zag de taille ${\displaystyle n}$ est une liste de ${\displaystyle n}$ nombres réels z₁,..., z_n tels que

${\displaystyle z_{1}>z_{2}<z_{3}>z_{4}\dots }$

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres ${\displaystyle z_{k}}$ sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites

Sommations

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est ^[réf. souhaitée] :

${\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}\mathrm {i} \sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}\mathrm {i} ^{k}k}}}$

où i est le nombre complexe tel que i^2 = −1.

Sommes sur les partitions

Le nombre ${\displaystyle E_{n}}$ s'exprime comme somme sur les partitions paires de ${\displaystyle 2n}$[2]:

${\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}~\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left({\frac {-1~}{2!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {-1~}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {-1~}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

et aussi comme somme sur les partitions impaires de ${\displaystyle 2n-1}$[3] :

${\displaystyle E_{n}=-(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left({\frac {-1~}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

où, dans les deux cas, ${\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{n}}$ et

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux ${\displaystyle k_{i}}$ tels que ${\displaystyle 2k_{1}+4k_{2}+\cdots +2nk_{n}=2n}$ et ${\displaystyle k_{1}+3k_{2}+\cdots +(2n-1)k_{n}=2n-1}$, respectivement.

Par exemple,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{5}&=-10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!8!}}+{\frac {2}{4!6!}}-{\frac {3}{2!^{2}6!}}-{\frac {3}{2!4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=-9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}7!}}+{\frac {6}{1!3!5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}5!}}-{\frac {10}{1!^{3}3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=50\,521.\end{aligned}}}$

Avec un déterminant

${\displaystyle E_{n}}$ est aussi donné par le déterminant^[réf. souhaitée] :

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Application

Les nombres d'Euler apparaissent dans les expressions exactes des séries alternées : ${\displaystyle \beta (2k+1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}={\frac {E_{k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}}$, voir à fonction bêta de Dirichlet.

Voir aussi

• Transformation du boustrophédon, permettant de calculer les nombres d’Euler.
• Permutation alternée

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler number » (voir la liste des auteurs).

1. Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, PUF, 1993, 955 p. (ISBN 2-13-045491-7), p. 318. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.
2. (en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, n^o 1,‎ 2008, A1 (lire en ligne).
3. (en) (en) Jerome Malenfant, « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », version v6, 2011.