Par exemple, le (problème de décision associé au calcul du) produit matriciel est dans NC.
Définition
Un problème A est dans NC s'il existe deux constantes c et k telles qu'il est possible de résoudre A en un temps en utilisant processeurs en parallèle. On peut donner une définition plus précise grâce aux circuits booléens. L'idée est que deux portes logiques peuvent calculer leur sortie en parallèle. Ainsi, le nombre de portes logiques est — grosso modo — le nombre de processeurs. La profondeur du circuit représente le temps d'exécution. Plus précisément, pour tout , on définit d'abord la classe NCc comme l'ensemble des langages décidés par une famille de circuits (où est la taille de l'entrée) dits uniformes (c'est-à-dire que l'on peut calculer effectivement à partir de l'entier ) de taille polynomiale en et de profondeur . La classe NC est alors .
La fonction parité de n bits est dans NC1 : on construit, façon diviser pour régner, un arbre binaire de porte XOR, qui peuvent se réécrire avec des portes NOT, AND et OR et ainsi obtenir un circuit de hauteur O(log n)[5]. La fonction parité n'est pas dans AC0.
En 1987, Buss a démontré que l'évaluation d'une formule (c'est un cas particulier du problème de l'évaluation d'un circuit booléen, car une formule booléenne est un circuit booléen qui est un arbre) est complet pour la classe ALOGTIME avec des réductions en temps logarithmique (ces classes en temps logarithmiques sont définies avec des machines de Turing RAM)[6]. ALOGTIME est égale à NC1 avec une certaine condition d'uniformité[7].
Relations avec les autres classes
Les relations suivantes sont connues, elles mettent en jeu les classes L, NL et P :
On peut aussi définir la classe AC et des classes ACi de façon analogue à NC et NCi sauf que l'arité des portes logiques est non bornée. En fait, comme , pour tout i, on a[8] : AC = NC.
Ruzzo[9] a montré que NC est exactement la classe des problèmes de décision décidés par une machine de Turing alternante en espace log n avec un nombre d'alternances (log n)O(1), c'est-à-dire que NC = STA(log n, *, (log n)O(1)) où STA(s(n), t(n), a(n)) est la classe des problèmes de décision décidés par une machine de Turing alternante en espace s(n), temps t(n) et alternances a(n)[10].
On ne sait pas si NC est égal à P ou pas. Comme le précise Arora et Barak[4], on ne sait pas séparer NC1 et la hiérarchie polynomiale PH.
Problème ouvert au sujet de l'effondrement
Une question importante en théorie de la complexité est de savoir si les inclusions de la hiérarchie NC sont stricts ou non. Papadimitriou a observé que si NCi = NCi+1 pour un certain i, alors NCi = NCj pour tout j ≥ i, et ainsi, NCi = NC. Cette observation s'appelle un effondrement de la hiérarchie NC car une seule égalité dans la chaine d'inclusions
implique que toute la hiérarchie NC s'effondre au niveau i. Ainsi, il y a deux possibilités :
Les chercheurs pensent[réf. nécessaire] qu'à priori les inclusions sont strictes (1) mais il n'y a pas de démonstrations.
Théorème de Barrington
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?
Barrington a démontré que la classe NC non uniforme correspond aux problèmes décidés par des programmes branchées définies de la façon suivante.
↑(en) Nicholas Pippenger, « On simultaneous resource bounds », 20th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (sfcs 1979), , p. 307–311 (ISSN0272-5428, DOI10.1109/SFCS.1979.29, lire en ligne)
↑(en) Walter L. Ruzzo, « On uniform circuit complexity », Journal of Computer and System Sciences, vol. 22, no 3, , p. 365–383 (DOI10.1016/0022-0000(81)90038-6, lire en ligne, consulté le ).