Dans sa jeunesse, Morgan Escaré découvre le rugby à XIII à Salses-le-Château puis à Toulouges. Il est ensuite formé dans l'équipe réserve des Dragons Catalans le Saint-Estève XIII catalan et appelé en équipe de France cadets et minimes au poste de demi-de-mêlée, Morgan Escaré fait ses débuts en Championnat de France lors de la saison 2009-2010.
2013 : Révélation aux Dragons Catalans
Lors de la saison 2013, en raison de la blessure de Brent Webb, l'entraîneur des Dragons Laurent Frayssinous décide de faire appel à Escaré contre les Bulls de Bradford, ce dernier étant alors le meilleur marqueur d'essais du Championnat de France. Cette expérience est une révélation puisqu'il y gagne une place de titulaire dans l'équipe après avoir marqué deux essais dès son premier match. Il dispute cette saison-là dix-sept matchs de Super League pour y inscrire quinze essais. Nommé pour le titre de l'espoir de l'année en Super League, il est appelé dans la foulée en équipe de France pour disputer la Coupe du monde 2013. Lors de la Coupe du monde, il est titulaire au poste d'arrière. Il marque un essai contre les Samoa lors du dernier match du premier tour et joue le quart-de-finale contre l'Angleterre perdu 6-34. En fin d'année 2013, Morgan Escaré signe un contrat de trois années avec les Dragons, ces derniers souhaitant garder le joueur courtisé par de nombreux clubs de Super League dont les Warriors de Wigan, le président des Dragons, Bernard Guasch, déclarant à cette occasion « C'est un pur produit bien de chez nous, il est passé par toutes les catégories jusqu'à embrasser une carrière professionnelle »[1].
2014 : confirmation
Il poursuit sa progression en Super League lors de la saison 2014. Morgan Escaré reste titulaire, malgré le retour de Brent Webb, et réalise une série de performances l'amenant à devenir l'un des plus prolifiques marqueurs d'essais de la Super League puisqu'il occupe la tête de ce classement après quinze journées avec quatorze essais (à égalité avec Tommy Makinson de St Helens RLFC). Les Warriors de Wigan reviennent à la charge pour l'enrôler, ce à quoi Escaré répond « Je suis Catalan » mettant fin à toute discussion[2].
2015-2016 : remise en question
En 2015, Morgan Escaré reste un des éléments titulaires des Dragons Catalans au poste d'arrière, toutefois sa progression stagne et marque moins d'essais. Au début de la saison 2016, il perd sa place de titulaire au profit de Tony Gigot. Après quelques matchs dans la réserve Saint-Estève XIII Catalan, il ré-intègre au poste d'arrière les Dragons Catalans lors de la huitième journée contre Castleford Tigers où il inscrit deux essais et un drop. Le , il remporte la Coupe de France.
2017 : départ pour les Warriors de Wigan
Après deux saisons aux Dragons Catalans où il n'avait plus la garantie du poste titulaire en tant qu'arrière, Escaré décide de s'engager avec les Warriors de Wigan tout juste vainqueur de la Super League. Ces derniers doivent composer avec la grave blessure de Sam Tomkins au poste d'arrière et ont misé sur le Français.
Le , il remporte devant 21 011 spectateurs avec son club le World Club Challenge (opposition entre le vainqueur de la Super League et de la National Rugby League), y inscrivant deux transformations. Il y déclare « Si on m'avait dit ça, au moment où j'ai signé à Wigan, je ne l'aurais pas cru ». Ses débuts en Super League avec Wigan sont remarqués et appréciés par les dirigeants puisqu'il y est le moteur de l'équipe et est considéré à quelques reprises homme du match. Après dix matchs avec Wigan, le club décide de prolonger le contrat de Morgan Escaré jusqu'en 2020.
Début , il se blesse gravement lors d'une rencontre contre les Tigers de Castleford et met un terme à sa saison en raison d'une intervention chirurgicale sur son genou[3]. Cette blessure a également pour conséquence une non participation à la Coupe du monde 2017[4].