En mathématiques, et particulièrement en algèbre, un module de Specht est une représentation des groupes symétriques, étudiée par Wilhelm Specht en 1935[1]. Ces modules sont indexés par des partitions et, en caractéristique 0, les modules de Specht des partitions d'un entier n forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique sur n éléments.
Définition
On considère une partitionv de l'entier n et on fixe un anneau commutatif k . La partition détermine un diagramme de Young à n cases. Un tableau de Young de forme λ est une façon de remplir les cases de ce diagramme de Young par des nombres distincts .
Un tabloïd est une classe d'équivalence de tableaux de Young où deux étiquetages sont équivalents si l'un est obtenu à partir de l'autre en permutant les entrées des lignes. Pour un tableau de Young , on note le tabloïd correspondant. Le groupe symétrique sur n éléments agit sur l'ensemble des tableaux de Young de forme λ. Par conséquent, il agit sur les tabloïds, et sur le k-module libre V engendré par les tabloïds.
Étant donné un tableau de Young T de forme λ, soit
où est le sous-groupe de permutations qui préservant (en tant qu'ensembles) les colonnes de T et où est la signature de la permutation . Le module de Specht de la partition λ est par définition le module engendré par les éléments quand T parcourt l' ensemble des tableaux de forme λ.
Une introduction à la construction du module de Specht peut être trouvée dans la section 1 du chapitre « Specht Polytopes and Specht Matroids » [2].
Structure
Sur des corps de caractéristique 0, les modules de Specht sont irréductibles et forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique.
Sur des corps de caractéristique p >0, la situation est un peu plus complexe : une partition est dite p-régulière si elle ne comporte pas p parties qui sont de même taille positive. En caractéristique p >0, les modules de Specht peuvent être réductibles. Pour les partitions p-régulières, elles ont un quotient irréductible unique, et ces quotients irréductibles forment un ensemble complet de représentations irréductibles.
Stephen Donkin et Haralampos Geranios, « Decompositions of some Specht modules I », Journal of Algebra, vol. 550, , p. 1–22$ (DOI10.1016/j.jalgebra.2019.12.017)
Gordon D. James et Adalbert Kerber, The representation theory of the symmetric group, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », (ISBN978-0-201-13515-2, MR644144, lire en ligne)
Gordon D. James et Andrew Mathas, « The Irreducible Specht Modules in Characteristic 2 », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 31, no 4, , p. 457–462 (DOI10.1112/S0024609399005822).
John D. Wiltshire-Gordon, Alexander Woo et Magdalena Zajaczkowska, « Specht Polytopes and Specht Matroids », dans Gregory G. Smith et Bernd Sturmfels (éditeurs), Combinatorial algebraic geometry. Selected papers from the 2016 apprenticeship program, Ottawa, Springer, coll. « Fields Institute Communications » (no 80), , viii+390 (ISBN978-1-4939-7485-6, zbMATH1390.05245, arXiv1701.05277), p. 201-228 [Zbl 1390.05245]