Modèle de Ricker

Diagramme de bifurcation du modèle de Ricker avec une capacité biotique de 1000.

En dynamique des populations, le modèle de Ricker est un modèle en temps discret de croissance d'une population. Il est nommé d'après Bill Ricker et a été formulé en 1954 dans le cadre de l'étude de la dynamique des stocks de poissons et la gestion des pêcheries.

Formulation du modèle

Le modèle de Ricker décrit le nombre d'individus (ou la densité d'individus) au temps ${\displaystyle t+1}$, noté ${\displaystyle N_{t+1}}$, comme une fonction du nombre d'individus au temps ${\displaystyle t}$, noté ${\displaystyle N_{t}}$, à la génération précédente. Le modèle prend la forme ${\displaystyle N_{t+1}=f(N_{t})}$ où ${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$ est une fonction. Le choix de Bill Ricker[1] se porte sur ${\displaystyle f(x)=\exp \left(r\left(1-{\dfrac {x}{K}}\right)\right)}$et le modèle prend la forme :

${\displaystyle N_{t+1}=N_{t}e^{r\left(1-{\frac {N_{t}}{K}}\right)}.\,}$

Le paramètre ${\displaystyle r>0}$ s'interprète comme le taux de croissance intrinsèque de la population et ${\displaystyle K>0}$ comme la capacité biotique de l'environnement.

Ce modèle peut être vu comme un cas limite du modèle de Hassel[2]: ${\displaystyle N_{t+1}=k_{1}{\frac {N_{t}}{\left(1+k_{2}N_{t}\right)^{c}}}}$.

Analyse du modèle

Influence du taux de croissance

Quelques simulation du modèle de Ricker partant d'une population de 800 individus et avec une capacité biotique de K=1000 et différentes valeurs de r.

Le comportement de la suite générée par le modèle de Ricker dépend de la valeur de ${\displaystyle r}$[3]. La suite converge vers un équilibre stable, évolue selon un cycle périodique ou a un comportement chaotique. Par le calcul^[réf. nécessaire], on obtient :

• pour ${\displaystyle 0<r<2}$, la population convergera vers un équilibre stable ;
• pour ${\displaystyle 2<r<2,692}$, la population évoluera selon des cycles périodiques ;
• pour ${\displaystyle r>2,692}$, la population aura un comportement chaotique, avec des retours ponctuels à la périodicité.

Une population dont la croissance peut être modélisée selon une suite de Ricker aura ainsi un comportement convergent, périodique, ou chaotique, en fonction des paramètres. Ces différents comportement sont illustrés par l'image présente issue d'une simulation numérique.

Influence de la capacité biotique

La capacité biotique ${\displaystyle K}$ représente la population maximale que le milieu peut accueillir. Si ${\displaystyle N_{0}=K}$, on déduit que ${\displaystyle N_{t}=N_{0}}$ quel que soit ${\displaystyle t}$ : la population est constante[3]. En revanche, si ${\displaystyle N_{0}\neq K}$, le comportement de la suite dépend de la valeur des paramètres, dont ${\displaystyle r}$. On illustre cela grâce aux simulations ci-dessous :

Quelques simulation du modèle de Ricker utilisant différentes valeurs de r et K. La population initiale est composée de 1000 individus.

Applications

Le modèle de Ricker a été utilisé pour prédire la dynamique de populations de poissons dans une pêcherie[4],[5].

Variantes

Plusieurs modèles dérivant du modèle de Ricker ont été formulés, notamment pour prendre en compte la compétition pour les ressources (compétition par exploitation)[6],[2]

Voir aussi

• Gestion durable de la pêche
• Modèle de Hassel
• Modèle de Beverton–Holt

Notes

1. Ricker (1954)
2. Geritz and Kisdi (2004)
3. Bruno Anselme, Biomathématiques. Outils, méthodes et exemples., Dunod, 2015, 352 p. (ISBN 978-2-100-72221-1), p. 57-67
4. de Vries et al.
5. Marland
6. Brännström and Sumpter(2005)

Références

• Bruno Anselme (2015), "Biomathématiques. Outils, méthodes et exemples", Dunod (ISBN 978-2-100-72221-1).
• Brännström A and Sumpter DJ (2005) "The role of competition and clustering in population dynamics" Proc Biol Sci., 272(1576): 2065–72.
• Geritz SA and Kisdi E (2004). "On the mechanistic underpinning of discrete-time population models with complex dynamics". J Theor Biol., 21 May 2004;228(2):261–9.
• Noakes, David L. G. (Ed.) (2006) Bill Ricker: an appreciation シュプリンガー・ジャパン株式会社, (ISBN 978-1-4020-4707-7).
• Ricker, W. E. (1954) Stock and Recruitment Journal of the Fisheries Research Board of Canada, 11(5): 559–623. DOI 10.1139/f54-039
• Ricker, W. E. (1975) Computation and Interpretation of Biological Statistics of Fish Populations. Bulletin of the Fisheries Research Board of Canada, No 119. Ottawa.