Matrices congruentes

En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que[1]

${\displaystyle B=P^{\mathsf {T}}AP,}$

où P^T est la transposée de P.

Propriétés

La congruence définit une relation d'équivalence sur les matrices carrées de même taille à coefficients dans K.

Deux matrices congruentes ont même rang.

Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique de rang r est congruente à une matrice diagonale à r coefficients non nuls[2].

Toute matrice symétrique réelle est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, des 1 et –1 sur la diagonale.

Deux matrices symétriques réelles A et B sont congruentes si et seulement si elles ont la même signature[3].

Notes et références

1. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence, vol. 2, Dunod, 2014, 2^e éd. (1^re éd. 2007), 880 p. (ISBN 978-2-10-071392-9, lire en ligne), p. 111.
2. (en) Sam Perlis, Theory of Matrices, Dover Publications, 1991 (1^re éd. 1952) (lire en ligne), p. 90.
3. Marc Troyanov, Algèbre Linéaire Avancé II pour physiciens, Lausanne, printemps 2022, 109 p., Page 84

Articles connexes

• Changement de base pour une forme bilinéaire
• Discriminant d'une forme quadratique
• Loi d'inertie de Sylvester