En analyse numérique , la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2 ). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley en 1694[ 1] méthode de Newton , à convergence cubique .
Soit
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
zéro de
f
{\displaystyle f}
x
n
+
1
=
x
n
−
2
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
2
(
f
′
(
x
n
)
)
2
−
f
(
x
n
)
f
″
(
x
n
)
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{(f'(x_{n}))}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}
à partir d'une valeur
x
0
{\displaystyle x_{0}}
a
{\displaystyle a}
Au voisinage de
a
{\displaystyle a}
|
x
n
+
1
−
a
|
<
K
|
x
n
−
a
|
3
{\displaystyle |x_{n+1}-a|<K|x_{n}-a|^{3}}
avec
K
>
0
{\displaystyle K>0}
La formulation suivante montre que la méthode de Halley est un raffinement de celle de Newton, et très proche de celle-ci si
f
″
(
a
)
=
0
{\displaystyle f''(a)=0}
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
f
″
(
x
n
)
2
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
(
1
−
f
(
x
n
)
f
′
(
x
n
)
⋅
f
″
(
x
n
)
2
f
′
(
x
n
)
)
−
1
.
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}{\frac {f''(x_{n})}{2}}}}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\left(1-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\cdot {\frac {f''(x_{n})}{2f'(x_{n})}}\right)^{-1}.}
On remarque que dans cette formulation l'expression
f
(
x
n
)
/
f
′
(
x
n
)
{\displaystyle f(x_{n})/f'(x_{n})}
La formule se déduit de la méthode de Newton appliquée à la fonction
g
=
f
/
f
′
{\displaystyle g=f/{\sqrt {f'}}}
x
n
+
1
=
x
n
−
g
(
x
n
)
g
′
(
x
n
)
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}}
avec
g
′
(
x
)
=
2
[
f
′
(
x
)
]
2
−
f
(
x
)
f
″
(
x
)
2
f
′
(
x
)
f
′
(
x
)
,
{\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}
d'où le résultat. Si
f
′
(
a
)
=
0
{\displaystyle f'(a)=0}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
Appliquée à la fonction
f
(
x
)
=
x
n
−
A
{\displaystyle f(x)=x^{n}-A}
x
k
+
1
=
x
k
(
(
n
−
1
)
(
x
k
)
n
+
(
n
+
1
)
A
)
(
n
+
1
)
(
x
k
)
n
+
(
n
−
1
)
A
{\displaystyle x_{k+1}={\frac {x_{k}((n-1)(x_{k})^{n}+(n+1)A)}{(n+1)(x_{k})^{n}+(n-1)A}}}
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
↑ Edmond Halley , « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that
without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London , vol. 18, 1694 , p. 136-145
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
![{\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dfe10fa56600f9202baa615d5c82674ceadb0c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c619f2e28fc8407c3489c1b78f2348f129a712)
