Logique modale normale

En logique, une logique modale normale est un ensemble L de formules modales tel que L contient:

• Toutes les tautologies propositionnelles;
• Toutes les instances du schéma de Kripke: ${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$

et est limité sous:

• Règle détachement (Modus Ponens): ${\displaystyle A\to B,A\vdash B}$;
• règle de nécessitation: ${\displaystyle \vdash A}$ implique ${\displaystyle \vdash \Box A}$.

La plus petite logique répondant aux conditions ci-dessus est appelé K. La plupart des logiques modales couramment utilisés de nos jours (en termes de motivations philosophiques), par exemple Le S4 et S5 de C. I. Lewis, sont des extensions de K. Cependant, un certain nombre de logique déontique et épistémique, par exemple, sont non-normale, souvent parce qu'elles abandonnent le schéma de Kripke.

Logiques modales normales communes

Le tableau suivant répertorie plusieurs systèmes modaux normaux communs. La notation se réfère à la sémantique de Kripke § schéma d'axiome modale commun. les conditions de cadres pour certains systèmes ont été simplifiées: les logiques sont complètes en ce qui concerne les classes de cadre donnée dans le tableau.

Nom	Axiomes	Condition de cadre
K	—	tous les cadres
T	T	réfléchi
K4	4	transitif
S4	T, 4	préordre
S5	T, 5 ou D, B, 4	relation d'équivalence
S4.3	T, 4, H	préordre total
S4.1	T, 4, M	préordre, ${\displaystyle \forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))}$
S4.2	T, 4, G	préordre dirigé
GL	GL ou 4, GL	ordre partiel strict fini
Grz, S4Grz	Grz ou T, 4, Grz	ordre partiel fini
D	D	série
D45	D, 4, 5	transitif, série et euclidien

Bibliographie

• Alexander Chagrov et Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal modal logic » (voir la liste des auteurs).