Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Énoncé

Soit ${\displaystyle K}$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\displaystyle {\bar {K}}}$ une clôture algébrique séparable de ${\displaystyle K}$. Étant donné un élément ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle {\bar {K}}}$, notons ${\displaystyle \alpha _{2},\ldots \alpha _{n}}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante[1],[2],[3].

Lemme de Krasner — Si un élément ${\displaystyle \beta }$ de ${\displaystyle {\bar {K}}}$ est tel que ${\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|}$ pour ${\displaystyle i=2,\dots ,n}$, alors ${\displaystyle K(\alpha )\subseteq K(\beta )}$.

Applications

• Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent[4]. En d'autres termes, étant donné un idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ d'un corps global ${\displaystyle L}$, la clôture séparable de la complétion ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adique de ${\displaystyle L}$ est égale à la complétion ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$-adique de la clôture séparable de ${\displaystyle L}$, où ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$ est un idéal premier de ${\displaystyle {\bar {L}}}$ au-dessus de (qui contient) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• Une autre application consiste à prouver que ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}}$, la complétion de la clôture algébrique de ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$, est algébriquement clos[5],[6].

Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante[7]. Considérons un polynôme unitaire

${\displaystyle f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})}$

de degré ${\displaystyle n>1}$ à coefficients dans un corps hensélien ${\displaystyle (K,v)}$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\displaystyle {\bar {K}}}$. Soient I et ${\displaystyle J}$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$. Considérons de plus un polynôme

${\displaystyle g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})}$

à coefficients et racines dans ${\displaystyle {\bar {K}}}$ et supposons que . Supposons que

${\displaystyle v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})}$ pour tout ${\displaystyle i\in I}$ et tout ${\displaystyle j\in J}$.

Alors les coefficients des polynômes

${\displaystyle g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})}$ et ${\displaystyle \ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}$

sont contenus dans l'extension de ${\displaystyle K}$ engendré par ${\displaystyle g}$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où ${\displaystyle g}$ est de degré 1.)

Notes

1. Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Lemma 8.1.6.
2. Lorenz (2008), p. 78.
3. Dat (2012), p. 59, 4.3.4 Lemme de Krasner et applications.
4. Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Proposition 8.1.5.
5. Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Proposition 10.3.2.
6. Lorenz (2008), p. 80.
7. Brink 2006, Theorem 6.

Références

• Jean-François Dat, Cours introductif de M2 : Théorie des nombres, Paris, Université Pierre et Marie Curie Master de mathématique, coll. « Master de mathématiques », 2012-2013 (lire en ligne).
• David Brink, « New light on Hensel's Lemma », Expositiones Mathematicae, vol. 24,‎ 2006, p. 291–306 (ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.01.002, zbMATH 1142.12304)
• Falko Lorenz, Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer-Verlag, 2008 (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001)
• Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2004 (ISBN 3-540-21902-1, zbMATH 1159.11039), p. 206
• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of number fields, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften » (n^o 323), 2008, 2^e éd., xvi+825 (ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, zbMATH 1136.11001).